Шпаргалка по "Математической экономике"

x₂= x₂'-x₂''

Далее эти значения подставляются во все  уравнения и ограничения, а при  составлении симплекс таблицы в  место одной неопределенной переменной будет два столбика x₁' и x₁'' или x₂' и x₂''. После этого все расчеты производятся как в обычном симплекс методе.

Метод искусственных переменных.

F(x)=ΣC_ix_i→max

Преобразуем в уравнения и получаем:

S₂ не может быть базисом, т.к. является отрицательным, и получается что из трех ограничений можно взять только 1 базис, а должно быть три, поэтому необходимо добавить искусственные базисы.

Теперь в системе три базиса:S1, R1 и R2.

После добавления базисов целевая функция  преобразуется и принимает следующий  вид:

Z= ΣC_ix_i-MR1-MR2+0*S1→max

(Если  функция стремиться к максимуму, то –М, а если к минимуму, то просто М).

М- это  число, стремящееся к бесконечности.

Пример:

F(x)=4x₁+x₂→min

Преобразуем неравенства и получаем:

Добавляем искусственные базисы:

F(x)=-4x₁-x₂→max

После добавления искусственных базисов  принимает вид:

F(x)=-4x₁-x₂ -MR1-MR2+0*S1→max

Теперь  строим симплекс таблицу. Затем избавляемся  от М в строке Z столбцах R1 и R2. Делается это по формуле:

Z(новая)=Z(старая)-строка R1(R2) * M

После того как симплекс таблица становится согласованной решается все обычным  симплекс методом.

Особые  случаи при решении  симплекс методом.

1.Вырожденность. Признак заключается в том, что базисная переменная в столбце решений =0. Это говорит о том, одно из ограничений лишнее и не влияет на результат решения. Но из симплекс таблицы не возможно определить лишнее неравенство.

Пример:

F(x)=3x₁+9x₂→max

Решая симплекс методом получаем итоговую таблицу вида:

Решаем  графически:

Экономический смысл заключается в том, что  сырье не расходуется.

2.Наличие  альтернативных решений. Т.е. целевая функция принимает одно и то же оптимальное значение при различных значениях переменных.

Решая симплекс методом видим:

Введем  X1 в базис исключая S2 и при этом Z не изменится.

Графический метод:

3.Неограниченность  решений. Подобного рода задача экономического смысла не имеет. Суть заключается в том, что в симплекс таблице в строке есть отрицательное число и все элементы столбца больше нуля, это говорит о том что ограничений по этой переменной нет, т.е. х может быть бесконечным.

4. Отсутствие решений. В данном случае в базисе остаются искусственные переменные, т.е. если в базисе остался хотя бы один искусственный базис, то это означает что решений нет., а из этого следует что прямые ограничений не пересекаются в области где Х1;Х2>0.  Задача экономического смысла не имеет.

Транспортные  задачи.

Транспортные  задачи включают в себя:

• управление запасами
• управление движением капиталов
• транспортные перевозки
• назначение персонала и т.д.

Методы  определения опорного плана:

• метод северо-западного угла
• метод минимального элемента
• метод Фогеля

1.Метод  Северо-западного  угла.

Порядок:

1. Задача проверяется на закрытость (открытость). Если Σai=Σbi, то значит задача закрыта, если нет, то необходимо она открыта. Открытую задачу необходимо закрыть. Для этого нужно добавить пункт отправления (или пункт назначения) с запасами (или потребностями) равными Σai-Σbi (или Σbi-Σai).
2. Подсчитываем количество клеток, которые нужно заполнить.
3. Строим таблицу:

4. Заполнять таблицу начинать надо с левого верхнего угла.
5. F(x)=сумме произведений размера перевозки на соответствующую транспортную затрату.

2.Метод  минимального элемента.

Порядок:

1.Проверяем  на закрытость, если надо закрываем.

2.Подсчитываем количество заполненных клеток

3. Строим  таблицу.

4.В уголках  расставляются транспортные затраты.

5.Выбирается  минимальная транспортная затрата  и эта клетка заполняется первой, и т.д. до полного заполнения  таблицы.

3.Метод  Фогеля.

Порядок:

1.Проверяем  на закрытость, если надо закрываем.

2.Подсчитываем  количество заполненных клеток

3. Строим  таблицу.

4.В уголках  расставляются транспортные затраты.

5.Считаем  штрафы по всем строкам и  столбцам. Штраф представляет собой  разность 2 минимальных транспортных  расходов строки (столбца).

6. Выбирается  максимальный штраф и в строке (столбце)где был получен максимальный  штраф заполняется ячейка с  минимальными транспортными расходами.  И так до тех пор пока  вся таблица не заполнится.

    Оптимальный план  транспортной задачи.

1. Метод потенциалов. 

На первом этапе находится опорный план одним из трех методов.  Затем  проверяется оптимальность  полученного  плана.  План оптимальный, если разность потенциалов b_j-a_i=c_ij (для заполненных клеток). Далее любую переменную, которая встречается чаще остальных приравниваем к нулю. Затем находим все остальные значения относительно этой переменной.  Потом вычисляем все l (лямбда) для незаполненных клеток по следующей формуле: l_ij= b_j-a_i-c_ij. Если среди l будут положительные числа, то план неоптимальный. Поэтому определяем максимальное положительное l и клетка, в которой оно получилось становится ведущей. Далее строится цикл, состоящий из 4-х и более клеток. В ведущей клетке ставится знак “+”, а далее по всей цепи расставляются знаки “-”, “+” поочередно. Потом из клеток со знаком “-” выбирается та, в которой объем транспортных перевозок наименьший.  Это величина отнимается от велечин транспортных перевозок клеток со знаком “-” и прибавляется к клеткам со знаком “+”. В результате получается новый план, который проверяется на оптимальность. Если план – оптимальный, то вычисляется значение целевой функции, если нет , то вся процедура проводится заново.

  Метод дифференциальных рент.

Существенно отличается от  других методов. С  начало строится условно-оптимальное распределение, которое потом оптимизируется.

1. Проверяем  на открытость.

2. В  каждом столбце определяем минимальные  транспортные расходы и заполняем  их в первую очередь. При  наличии в столбце двух одинаковых  минимальных клеток сперва заполняется та, в строке которой нет больше обведенных.

3.  Определяемся  с положительными строками: строка  положительна, если еще остались  запасы, но потребности удовлетворенны. Строка – отрицательна, если запасы  израсходованы, потребности еще  неудовлетворенны. Строка – ведущая, она отрицательна и соприкасается с положительной. Затем находится разность транспортных расходов между положительной и отрицательной ячейками. Минимальное значение разности является дифференциальной рентой. Далее минимальную ренту прибавляем  ко всем транспортным расходам отрицательной строки. Потом и учетом изменений таблица заполняется заново. Определяются знаки строк. Процедура продолжается до тех пор, пока все строки не обнуляться. Затем уже находится значение функции f(x).