Шпаргалка по "Математической экономике"

а)x₁+x₂≤b,то

x₁+x₂+S₁=b

S₁≥0 (остаточная, добавочная переменная)

б) x₁+x₂≥b,то

x₁+x₂-S₁=b

S₁≥0 (избыточная переменная)

в) x₁+x₂≥-b,то все умножается на (-1)

-x₁-x₂ ≤b и дальше как в предыдущих случаях.

В данном случае:

2.Все неизвестные переменные должны быть положительными.

3.Целевая функция всегда должна стремиться к максимуму. Если она стремиться к минимуму, то всю функцию умножаем на (-1) и она становиться стремящейся к максимуму.

Для построения симплекс таблицы необходимо определиться с базисными переменными, которые  входят в ограничения с положительными коэффициентами=1 и в целевую функцию  с нулевым коэффициентом. Количество базисов соответствует количеству ограничений.

Z=3x₁+2x₂+0S₁+0S₂+0S₃+0S₄→max

Строим  симплекс таблицу.

Заполнение  симплекс таблицы начинается с заполнения строки Z. Она заполняется значениями целевой функции с противоположным знаком. В качестве решения при первом заполнении таблицы всегда ставится 0.

После этого заполняются оставшиеся строки значениями ограничений.

Если  в строке Z есть отрицательные значения, то функция не достигла максимума и следовательно ее надо максимизировать. Наименьшее отрицательное значение это направление наибольшего возрастания функции. Для того чтобы оптимизировать функцию нужно:

1. Выбрать  максимальное отрицательное значение, и столбец в котором она  расположена автоматически становится  вводимым.

2.После  этого нужно определиться с  исключаемой переменной. Для этого  необходимо делить значения решения  на соответствующее значение в вводимом столбце, т.е.:

S₁=4/0,5=8

S₂=3/1=3

S₃=1,5/1=1,5

S₄=2/1=2

Из полученных значений выбирается минимальное положительное, и строка, в которой оно получилось становиться исключаемой.

После этого необходимо приступать к построению новой симплекс таблицы, в которой  исключаемая переменная будет заменена на ведущую.

Начинать  заполнение этой таблицы нужно с  введенной строки, т.е. со строки x₁. Эта строка заполняется значениями предыдущей таблицы поделенными на значение полученное на пересечении ведущего столбца и исключаемой переменной.

x₁=1/1=1

x₂=-1/1=-1

S₁=0/1=0

S₂=0/1=0

S₃=1/1=1

S₄=0/1=0

P=1.5/1=1.5

После того как вводимая строка заполнена, переходим к заполнению строки Z. Значения новой строки Z получаются по формуле:

Z_новое=Z_старое - вводимая строка * значение на пересечении вводимого столбца и строки Z.

x₁=-3-1*(-3)=0

x₂=-2-(-1)(-3)=-5

S₁=0-0*(-3)=0

S₂=0-1*(-3)=3

S₃=0-0*(-3)=0

S₄=0-0*(-3)=0

P=0-1,5*(-3)=4,5

Заполняем строку S_1. Формула та же только на место значений в строке Z берем значения в строке S₁.

x₁=0,5-1*(0,5)=0

x₂=-1-(-1)(0,5)=1,5

S₁=1-0*(0,5)=1

S₂=0-0*(0,5)=0

S₃=0-1*(0,5)=-0,5

S₄=0-0*(0,5)=0

P=4-1,5*(0,5)=3,25

Так же заполняются Оставшиеся строки. После  того как будет заполнена вся  симплекс таблица нужно опять  проверить ее на оптимальность, т.е. на наличие отрицательных чисел в строке Z, и в случае если они есть повторять процедуру до тех пор пока их не станет. После того как в строке Z останутся только положительные значения можно переходить к расчету F(x). В функцию подставляются значения решений x₁ и x₂. Значение F(x)  и будет максимальным значением при заданных ограничениях.

Метод Гаусса-Жордана.

Этот  метод применяется в тех случаях, когда значения x₁ и x₂ не определены. Для того чтобы определить неопределенную переменную делается следующее:

x₁= x₁'-x₁''