Шпаргалка по "Математической экономике"

NPV_2Б =12,3

NPV_2В =14,2

NPV_2Г =11,1

=

(13,3-12,1)/35=0,035

I_Б =0,049

I_В =0,032

I_Г =0,056

Послед-сть  убывающих потерь:

Г – 20 – 100% реализуются

Б – 25 – 100% реализуются

А и  В – реализуются на след. год, если дробить нельзя

А реал-ся на 42,8%, если дробить можно. 

Формирование  портфеля акций и  определение его  доходности.

Доходность акций опред-ся как (r):

, где 

Р –  цена реализации

Р₀ – цена приобретения

d – дивиденды

Среднерыночная  доходность акций (по всем акциям):

;   , где

r_i – доходность 1 акции

x_i – доля i-той акции на рынке цб

b_i – количество акций одного вида

Чтобы спрогнозировать доходность акций, берут стат. Данные по доходности i-той акции за К лет.

r_ij ,  j=1...K

(r_{i1 ,}   r_{i2 ,  ...,}    r_iK)

(r_{m1 ,}  r_{m2 , ...,}  r_mK)

σ_{r i} - среднеквадратическое отклонение i-той акции

- простая ср. арифм-кая

Чем меньше σ_{r i} , тем в акциях меньше риска, т.е. они стабильны.

Чем меньше σ_{r m} , тем лучше репутация самого фонда.

Госцб наиболее стабильны, являются ориентиром.

Доходность  i-той акции:

z - %-ая ставка госцб (дох-сть)

Для анализа  доходности акции используют β-коэффициент.

β-коэффициент  оценивает изменение доходности отдельных акций в сопоставлении с динамикой изменения всего рынка. Если β>1, то акции считаются агрессивными (превышают среднюю доходность всего рынка). Если β<0 (отриц.), то доходность будет снижаться, иначе (β>0) – повышаться.

-

ожидаемый доход акций.

Средний ожидаемый доход:

, где 

- ожидаемая цена за риск

Можно посчитать β иначе:

.

Есть  также коэффициент α, кот. характеризует отклонение рыночной стоимости от реальной (номинальной).

Если  α<0, то цена считается завышенной. Если α>0, то занижена.

Норма: α=0, номин. цена=реальной. 

Задачи

Операционный  рычаг:

1. Идет  пр-во продукции с пост. затратами  – 10ед-иц. Мощность пр-ва –  500 ед-иц, цена ед-цы продукции – 15 ед-иц. Необходимо построить график с отображением точки безубыточности и посчитать силу взаимодействия.

П=NP – (Зпост+Зпер)=7,5

С=(7,5+10) / 7,5=17,5 / 7,5=2,3 

2. Прибыль=5 ед-иц, Зпост= 8 ед-иц. Опр-ть, на ск-ко %-ов увел-ся дох-сть ПП, если объем реал-ции увеличить на 10%.

C*i=2,6*0,1=0,26; → доходность ПП увеличится на 26%.

Финансовый  рычаг:

1. Опр-ть  дох-сть собств. ср-тв, если в проект  вкладываются собств. ср-ва в размере – 20 тыс. Привлеченные – 50 тыс. Доходность проекта – 10%. Платежи по кредитам: 1%, 2%, 3% (3 кредита).

;

Ответ: 30%.

2. Доходность  собств. средств =16%, вложения собств. средств =50 тыс. Ставка доходности =12%. Ставка по банк. Обязательствам =8%. Опр-ть:

а) размер инвестиц. вложений,

б) размер привлеченных средств.

IC=E+Д=50+50=100.

Имитационная  модель оценки рисков:

1. Имеется  2 проекта А и Б.

Для А:

NPVн=5,  NPVр=6,  NPVо=8

Вер-сть  наихудшего рез-та = 0,09

   реального рез-та = 0,7

   оптимального  рез-та = 0,21

Для Б:

NPVн=3,  NPVр=4,  NPVо=6

Вер-сть  наихудшего рез-та = 0,07

   реального рез-та = 0,6

   оптимального  рез-та = 0,33

Оценить степень риска, вариацию и квадратическое отклонение.

Для А:

R=NPVo-NPVн = 3

NPVcp=6,33 Доделать

Поправка  на ден. потоки:

Имеется 2 проекта А и Б, срок реал-ции  – 2 года, ставка дох-сти – 10%. Вложения: А – 50, Б – 55.

Потоки: А=30  30

     Б =35  33

Вероятности: А→0,6   0,9

      Б→0,7   0,8

Оценить оба проекта:

 

Пространственная  оптимизация:

1. Проект  нельзя дробить. Имеется 4 проекта.  Фонд 10 тыс., ставка 10%.

А – 5  3  4  3

Б  – 7 5  6  6

В – 2  1  1  1

Г – 3  1  2  3

NPV(А)=3,28

NPV(Б)=7

NPV(В)=0,73

NPV(Г)=2,05

2. Проекты  можно дробить.

Третья  точка))))

Фирма изготавливает краски двух видов: для  внутренних работ (В) и для наружных работ (Н). Стоимость 1 тонны В=3т, а  стоимость 1 тонны Н=2т. Для изготовления красок используется 2 вида сырья А  и Б. Максимальный суточный запас сырья А=3т, а Б 4 тонны. Спрос на В не превышает спрос на Н более чем на 1,5 тонн. Спрос на В не превышает 2 тонн в сутки. Определить какое количество красок нужно изготавливать, чтобы получить максимальную прибыль, если известен расход сырья.

F(x)=3x₁+2x₂→max, где

x₁-Количество В (объем производства)

x₂-количество Н (объем производства)

Графический метод.

Т.к. 2 переменные приводим к каноническому виду.

Этапы:

1.На осях X1OX2 отображаются все прямые ограничений канонического вида задач линейного программирования. Для этого делается следующее:

1)0,5х₁+х₂=4

х₁=0           х₂=0

х₂=4           х₁=4/0,5=8

Прямая 0,5х₁+х₂=4 проходит через точки: (0;4) и (8;0)

2)х₁+0,5х₂=3

х₁=0           х₂=0

х₂=6           х₁=3

Прямая  х₁+0,5х₂=3 проходит через точки: (0;6) и (3;0)

2.Определяется плоскость, ограниченная этими прямыми. Для этого исходя из первоначальных знаках в уравнениях определяем направление каждой из прямых.

3.Строиться многоугольник решений. Любая точка попавшая в область является решением (планом).

4.  Определяется направляющий вектор N (С₁, C₂). Где С1 и С2 коэффициенты при переменных Х1 Х2 в уравнении функции F(х). Направление этого вектора показывает направление возрастания функции.

Противоположное направление это направление  убывания.

5.Строиться прямая целевой функции.

C₁x₁+C₂x₂=0 (уравнение функции F(x) приравниваем 0).

F(x)=3x₁+2x₂=0

х₁=0           х₁=1

х₂=0           х₂=-1,5

Прямая  х₁+0,5х₂=3 проходит через точки: (0;6) и (3;0). 

После того как будет построена  целевая функция, перемещая ее по направлению направляющего вектора  находится точка максимума. Эта  точка и будет оптимальным  решением.

Определив точку максимума нужно определить на пересечении каких прямых она образуется. Совместное решение уравнений этих прямых даст координаты этой точки, а следовательно и необходимые, оптимальные значения x₁ и х₂.

В данном случае точка D образована на пересечении прямых (1) и (2). Решаем систему уравнений:

х₁=3-0,5х₂

0,5(3-0,5х₂)+х₂=4

1,5-0,25х₂+х₂=4

0,75х₂=2,5

х₂=3,33

х₁=3-0,5*3,33

х₁=1,4

(1,4;3,3)-это  координаты точки D.

Теперь  эти координаты подставляем в  целевую функцию и получаем оптимальное  решение.

F(x)=3*1,4+2*3,33=10,8

Математический  метод. Симплекс метод.

F(x)=3x₁+2x₂→max

1.Все ограничения преобразовываются в равенства с неотрицательной правой частью. Здесь возможно несколько вариантов: