Шпаргалка по "Математической экономике"

(1)Математическая  экономика-наука, кот. использует мат. аппарат в кач-ве метода исследования экон-х систем и явлений. Объект-Экономика. Специфика МЭ в том, что она изучает не сами экон. объекты, а их модели. Требования к математическим моделям:

1. адекватность-соответствие своему оригиналу
2. объективность-соответствие выводов реальным условиям
3. простота-отсутствие второстепенных факторов
4. чувствительность-реагирование на изменение условий
5. устойчивость- незначительные изменения параметров должны приводить к незначительным изменениям решения задачи
6. универсальность- разнообразие области применения

Основ. раздел МЭ это исследование операций. Модели этого раздела связаны  с выработкой рекомендаций по принятию оптимального решения. Если элементы модели не зависят явно от времени, модель называется статистической. Если процесс принятия решения – это многоэтапный дискретный и непрерывный во времени процесс, то модель называется динамической. Если элементы модели не содержат случайных величин, то модель называется детерминированной, а если содержит- стохастической.

Основные математические модели:

1)Модель  Леонтьева «Затраты-выпуск».Пусть некоторый экономический регион производит n-видов продукции. Использует случай закрытой модели(со внешней средой отношений нет). Необходимо определить объем выпуска продуктов с учетом того, что объем выпуска продукции должен обеспечить потребности населения и производства.

Ci- спрос

Xi- объем выпуска продукции

a_ij-количество I-той продукции необходимой для производства j-ой продукции

(Xi-Ci)- объем продукции, который должен пойти на производство

a_ij*Xi- сколько I ушло на производство j

a₁₁*x₁+a₁₂*x₂+…+a_1n*x_n=x₁-c₁

a₂₁*x₁+a₂₂*x₂+…+a_2n*x_n=x₂-c₁

x-c=ΣΣa_ij*x_i

x-c=Ax

c=x-Ax

       a₁₁ a₁₂ a_{13 …}

A=  a₁₁ a₁₂ a_{13 …}    - Матрица

       a₁₁ a₁₂ a_{13 …}

x=(x₁…x_n)

c=(c₁…c_n)    Векторы

2)Модель  линейного программирования.

Задача. Нефтеперерабатывающий завод располагает 2 видами нефти:

1а) в  количестве 10 единиц (вид а)

2б) в  количестве 15 единиц (вид с)

При переработке  получается бензин и мазут. Определить наилучший вариант переработки нефти.

1 вариант:3а+2с=3б+2м

2 вариант: 2а+1с=1б+5м

3 вариант: 2а+2с=1б+2м

Цена  бензина 10 единиц, а цена мазута 1 единица. 

Xi- вид тех-го процесса

Xi=1,2,3

F(x)=32Х1+15Х2+12Х3®max (Функция, которую нужно оптимизировать).

Ограничения:

Xi³0,целое

а≤10→3а+2а+2а≤10

с≤15→2с+1с+2с≤15 Из 3 вариантов

3)Модель  Марковица-стахостическая, есть вероят-е переменные. Задача: Инвестору необходимо определить наилучший набор из акций, облигаций и др ценных бумаг. Цель получить мах прибыль с min риском. Прибыль имеет 2 вида: ожидаемая и фактическая. Ожидаемая прибыль должна быть не ниже заложенного значения в …………

n-число разновидностей ценных бумаг

a_j- фактическая прибыль от j-той ценной бумаги

Cj-ожидаемая прибыль от j-той ценной бумаги

Yj-средства выделяемые на приобретение j-той ценной бумаги

Xj- доля j-той ценной бумаги в портфеле

Xj=Yj/ΣYj

ΣXj=1

δ_ij=μ{(a_i-c_i)(a_j-c_j)}

μ- математическое ожидание

4) 4.1. Игровая задача.

4.2.Задача  оптимального раскроя материала. 

4.3.Транспортная  задача.

4.4. Распределение по должностям.

4.5. Задача  о смесях или о рационе. 

4.6. Задача о  рюкзаке. 

4.7. Задача  о комевояжере. 

4.8. Задача  о станках. 

4.9. Задача  о распределении капиталовложений.

4.10. Задача  о размещении производства. 

(2). Модели  финансово-коммерческих операций.

1. Модели развития по схеме простых процентов.

P-сумма кредита

1. ставка по кредиту в %

Y=Pi- сумма процентных денег

S1=P+Y- сумма, которую необходимо вернуть за первый год

S2=S1+Y-сумма которую необходимо вернуть за 2 год.

S2=S1+Y=P+2Y

Sn=S_n-1+Y=P+nY

n-число лет

t-число дней

k-число дней в году

n=t/k

Sn=P(1+ni)-основная функция

P=S/(1+ni)-математический дисконт по простому проценту.

n=(S/P-1)/i

Если  проценты с течением времени меняются:

n₁-период когда действует ставка i₁

n₂-период когда действует ставка i₂

n_m-период когда действует ставка i_m

m-количество периодов

Yj=Pn_j*i_j

S=P+ΣYj

S=P(1+Σn_j*i_j)

Ry=S/P-коэффициент увеличения

S=Ry*P

В Германии год считается 360 дней и в месяце 30 дней. Во Франции год 360 дней, а месяц  календарный. В Англии год 365 дней, месяц календарный.

2. Модели развития  по схеме сложных  процентов. 

Процент начисляется на Σ исходный размер кредита +Σ по процентам за предыдущие года - система реинвестирования.

S₁=P+Y₁          Y₁=P*i          

S₂=P+Y₂                Y₂=S₁*i

S_n=P+Y_n          Y_n=S_n-1*i          

S₁=P(1+i)     

S₂=S₁+S₁*i=S₁(1+i) => S₂= P(1+i)²

S_n=P(1+i)ⁿ

Ry=S_n/P=(1+i)ⁿ

 

Математический  дисконт по сложным процентам

Если  проценты с течением времени меняются:

n₁-период когда действует ставка i₁

n₂-период когда действует ставка i₂

n_m-период когда действует ставка i_m

m-количество периодов

S=P(1+i₁)ⁿ¹*(1+i₂)ⁿ²*…

S=П(1+i_j)^nj

П- произведение.

Если  проценты начисляются несколько  раз в году;

S=P(1-i_m)^m*n

m-сколько раз в году начисляются проценты.

S=P(1+i_m/m)^m*n

i-годовая ставка.

Задача: Определить что выгоднее 15,5% годовых  ежеквартально или 15,3 годовых ежемесячно (проценты сложные).

15,5%-i₁         m=4(квартал)

15,3%-i₂         m=12(месяц)

n=1, т.к. 1 год.

R=(1+i/m)^mn

R₁=(1+0.155/4)⁴=1.1642

R₂=(1+0.153/12)¹²=1.1642

• что 15,5% в месяц= 15,3% в квартал.

3.Модель  операции дисконтирования. Дисконт- это реальная цена денег.  Дисконт бывает 2-х видов:

• математический(P);
• Банковский (коммерческий).

Когда покупаются денежные обязательства, например, вексель. Реальная цена векселя считается  как номинальная цена векселя  минус сумма дисконта.

P-реальная цена

S-номинальная цена

D-сумма дисконта

Простой дисконт.

P=S-D

d=D/S

d-ставка дисконтирования

D=dS

Если  несколько лет (n), то D=ndS

P=S(1-nd)

R=S/P=1/(1-nd)- коэф-т уменьшения

Сложный банковский дисконт.

P=S-D

P=S(i-d)ⁿ

В случае годового дисконта:

В случае периодического дисконта:

P=S(1-dm)^mn

Модели  финансовых потоков.

Пример1. Оплата по договорам производиться  поэтапно в течение какого-то периода  времени.

Пример2. Погашение банковского кредита  по частям.

Ряд последовательных финансовых платежей, производимых через  равные промежутки времени называется финансовой рентой или аннуитетом.

Финансовая  рента имеет определенные основные характеристики:

1)Элемент  ренты Rj- величина каждого отдельного платежа.

2)Интервал  ренты Tj временной интервал между двумя платежами.

3)t- срок ренты- время от начала выплат до конца.

4)Ставка  I или d (либо процент либо дисконт)

5)Общая  сумма ренты-S-состоит из суммы платежей и суммы процентных ставок.

6)Приведенная  величина ренты-A- сумма платежей уменьшенная на величину учетной ставки. Т.е. начальная величина, которая при добавлении процентных денег дает нам общую сумму платежей.

S=A(1+i)ⁿ

Рента бывает: постоянной (когда R-const) и переменной (Rj=Ri)

По моменту  выплат рента бывает постнумеранда  и пренумеранда (когда платежи  указываются в начале периода).

R-платежи

i-процентная ставка

Определить  сколько будет денег в конце. S₁=R₁(1+i_c)^n-1-постнумеранда

S₁=R₁(1+i_c)ⁿ-пренумеранда

Постнумеранда: