Контрольная работа по "Финансовой математике"

 

     Общее число поворотных точек в данном случае равно p = 8

     Рассчитаем  значение q:

     

     Если  количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае p = 8, q = 6, значит условие случайности уровней ряда выполнено.

     Проверка  независимости уровней  ряда остатков.

     а) по d-критерию Дарбина-Уотсона

     

     В нашем случае имеет место отрицательная  автокорреляция. В таком случае величину d уточняем, вычитая полученное значение из 4:

     

     Так как d₂ < 1,63 < 2, то уровни ряда остатков независимы.

     б) по первому коэффициенту автокорреляции

      .

     Если  модуль рассчитанного значения первого  коэффициента автокорреляции меньше критического значения   r(1) < r_табл , то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче |r(1)| = 0,203 < r_табл = 0,32 – уровни независимы.

     в) Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS –критерию. Рассчитаем значение RS:

     RS = (E_max – E_min)/S

     E_max = 2,69401;

     E_min = – 1,43206;

     E_max – E_min = 2,69401 – (–1,43206) = 4,12607;

      ;

      .

     Так как 3,00 < 3,57 < 4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

     Таким образом, условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Y_p(t) на 4 квартала вперед.

     4) Построение точечного прогноза

     Для t = 17 имеем:

     Y_p(17) =Y_p(16+1)=[a(16)+b(16)]*F(16+1-4) = (62,81+0,881)*0,883 = 56,25.

     Аналогично находим  Y_p(18), Y_p(19), Y_p(20):

     Y_p(18) =Y_p(16+2)=(62,81+2*0,881)*1,079 = 69,65

     Y_p(19) = (62,81+3*0,881)*1,274 = 83,36

     Y_p(20) = (62,81+4*0,881)*0,768 = 50,92

     5) Отражение на графике фактических, расчетных и прогнозных данных

     

     Ряд остатков

     

 
 
 
 
 

     Задание № 2 

     Даны  цены (открытия, максимальная, минимальная  и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

     - экспоненциальную скользящую среднюю;

     - момент;

     - скорость изменения цен;

     - индекс относительной силы;

     - %R, %K, %D.

     Расчеты проводить для всех дней, для которых  эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

                                                                                                                   Таблица 6

 
 
 
 
 
 
 
 

     Решение

     1) Расчет экспоненциальной скользящей средней.

     При расчете экспоненциальной скользящей средней (EMA) учитываются все цены предшествующего периода, однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:

     

     где k = 2/(n+1);  C_t – цена закрытия t-го дня;  EMA_t  – значение EMA текущего дня t; EMA_t-1  – значение EMA предыдущего дня t;

     Начальное значение EMA рассчитывается как средняя арифметическая цен за определенное количество (n = 5)   предшествующих дней по формуле:

     MA_t = (C_t-n+1 + C_t-n+2 +…+C_t)/n,

     где C_t – цена закрытия  t-го дня;

     MA_t  – значение скользящего среднего текущего дня t.

     

     

     И так далее для 7, 8, 9, 10 дней. Расчеты  приведены в таблице 7.

    Расчет  EMA

                                                                                                                                    Таблица 7

 

     

Рис. 2. Экспоненциальная скользящая средняя 

Вывод: с 5-го по 6-ый день ЕМА(t) выше чем С(t). Следовательно, покупки не рекомендуются. 6 день – пересечение графика скользящей средней с графиком Ct, сигнал разворота. 7-9 дни – ЕМА ниже Ct, тренд восходящий, рекомендуются покупки. 9 день – пересечение графиков, сигнал разворота. 9-10 дни – ЕМА выше Сt, следовательно тренд нисходящий, рекомендуются продажи. 

     2) Расчет момента.

     Момент  – это разница между конечной ценой текущего дня C_t  и цены n дней тому назад C_t-n .

     Рассчитаем  момент по формуле  , где t>n+1 => расчет выполняем с шестого уровня, т.е.

     

     

     и т.д.

     Результаты  вычислений занесем в соответствующий  столбец расчетной таблицы 8.

     Расчет  MOM 

                                                                  Таблица 8

 
 

     

     Рис. 3. Момент. Результат расчета 

     Вывод: Все значения МОМ (кроме МОМ(7)) положительны, что свидетельствует об относительном росте цен (сигналы о покупке).

     Наиболее  выгодные варианты покупки наблюдаются в 7-й  и 8-й день, так как МОМ резко пошел вверх 
 
 

     3) Расчет скорости изменения цен.

     Скорость  изменения цен (ROC) – это отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.

      ,

     где C_t - цена закрытия t–го дня;

     ROC_t - значение ROC текущего дня t.

       и т.д.

    Расчеты представим в таблице (табл. 9) и изобразим на графике (рис. 4).

     Расчет  ROC

                                                                                                      Таблица 9

 

     

     Рис. 4. Индекс скорости изменения  цен ROC

     Вывод: Все значения ROC (кроме ROC(7)) более 100%, что свидетельствует об относительном росте цен (сигналы о покупке).

     Наиболее  выгодные варианты покупки наблюдаются в 7-й и 8-й день, так как ROC резко пошел вверх