Контрольная работа по "Финансовой математике"

Решенные задачи по финансовой математике

Содержание 
 
 
 
 
 
 
 

 

1. Банк начисляет  50 рублей обыкновенного  простого процента  за использование 3000 рублей в течение 60 дней. Какова норма простого процента такой сделки?

 

Решение:

Простой процент вычисляется по формуле:

R = iP * (t/T);

50 =i 3000* (60/365);

i = 365*50 /(3000*60) = 0,1014 (10,14%)

или:

S = P (1+i); (50+ 3000) = 3000 (1+i); 3050 = 3000 + 3000 i; 50/3000 = i; i = 0,0167 (1,67 %) – за 60 дней (два месяца); за год: i = 0,0167*365/60 = 0,101388 (10,14%);

 
2. Вексель с суммой  погашения 100 тыс.  рублей продан  при норме простого  дисконта 3,5% за 72 дня  до даты погашения.  Найти дисконт  и выручку.

 

Решение:

В случае простого дисконта:

P = S (1 - nd);

Выручка:

P = 100000 (1 – 0,035* 72/365)= 100000 *0,993 = 99300 руб.

Дисконт составит:

100000 –  99300 = 700 руб.

 
3. При какой годовой  ставке сложного  процента деньги  удваиваются через  12 лет?

Решение:

S_n = P(1+i)ⁿ

2 = 1 (1+i)¹²

(1+i)¹² =2

Прологарифмируем  полученное выражение:

12 lg (1+i) = lg2; lg2 = 0,3

12 lg (1+i) = 0,3

lg (1+i) = 0,0025;  (1+i) = 1, 06; i = 0,06 (6%)

      Можно было не делать таких сложных расчетов. В учебниках по банковскому делу и ценным бумагам прилагаются  таблицы, в которых показывается будущая стоимость единицы при определенной годовой ставке через определенный период времени.

Единица удваивается через 12 лет при 6% годовых.

 
4. Какая сумма при  выплате через  3 года эквивалентна 10 тыс. рублей, выплачиваемых через 10 лет от настоящего момента, если норма процента равна 5% в год?

 

Решение:

Эквивалентная процентная ставка:

j = (1+ i)^m/n -1 =(1+ 0,05)^10/3 -1;

(1+ i)^m = (1+ j)ⁿ = (1 + 0,05)¹⁰

(1+ j)ⁿ = (1 + 0,05)¹⁰ = 1,6289

отсюда:

(1+ i)³ =1,6289;  (1+ i) = 1,1768; i = 0,1768 ≈ 17,7%

По ставке сложного процента:

при n = 3 и  5 %

Будущая стоимость единицы: 1,1576

S_n = P(1+i)ⁿ

Р = 10000/1,6289 = 6139,11 руб.

тогда: 6139,11*1,1576 = 7139,63 руб.

 
5. Какие ежеквартальные  взносы необходимо  делать в банк, начисляющий 1,5% в  квартал, чтобы  за 5 лет скопить 500 тыс. рублей?

 

Решение:

Полагающийся  аннуитет:

500 000 = R *[(1+0,015 )^4*5 -1] /0,015 * (1 + 0,015);

(1,34685-1)/0,015* 1,015 = 23,47044;

Отсюда: R = 500000/ 23,47044= 21303,4 руб.

 
6. Иванов вносит  в сберегательный  банк 500 рублей в  конце каждого квартала. В конце каждого года банк начисляет 4% сложных процентов. Какая сумма будет на счете Иванова через 5 лет?

Решение:

По формуле  обыкновенного общего аннуитета:

S = 500 * ((1+0,04)^5*1 -1)/ ((1+ 0,04)^1/4 -1 ) = 500* 0,2167/0,00985 = 11 000 руб.

 
7. Какую сумму денег  нужно иметь на  счете, чтобы обеспечить  вечную ренту в  размере 1500 рублей  в месяц, если  банк начисляет  3% в квартал?

 

Решение:

Вечная  рента – это аннуитет, платежи  которого продолжаются в течение  неограниченного времени

эквивалентная процентная ставка равна:

j =(1+i)^m/p -1 = (1+ 0,03)^4/12  -1= 1,0108 -1 = 0,0108

m=4; p =12

А =R/j = 1500/0,0108 = 138888,88 руб.

 
8. Облигация на 100 тыс.  рублей, по которой  выплачивается 5% годовых, будет выкупаться через 15 лет по номинальной стоимости. За какую цену ее следует купить, чтобы обеспечить покупателю норму доходности 3% годовых?

 

Решение:

Доход по облигации представляет собой  поток периодических платежей в  конце каждого года (простой аннуитет) и разовую выплату в конце  всего срока действия облигации.

С=N = 100000 руб.,

Ежегодные выплаты: R = 5000 руб., i =0,03

Цена  покупки:

Р = 5000* [ 1-(1+0,03)^-15]/0,03 + 100000 (1+0,03)^-15 = 5000 *(1-1/1,5580)/0,03 + 100000(1/1,03¹⁵) = 5000 * 11,9384 + 100000*0,64185 = 123877 руб. 

 
9. Рассчитайте, что выгоднее для вкладчика: получить 20 000 рублей сегодня или получить 35 000 рублей через 3 года, если процентная ставка равна 17%.

 

Решение:

Рассчитаем  будущюю стоимость 20000 рублей через 3 года, под 17% годовых. 
FV = 20000 * (1 + 0,17)³ = 32032 рубля.

Ответ. Получить 35000 рублей через 3 года является более выгодным решением, при данном значении процентной ставки.

 
  10. Сколько лет потребуется для того чтобы из 1000 рублей, положенных в банк, стало 20000 рублей, если процентная ставка равна 14% годовых?

 

Преобразуем формулу к следующему виду:

(1 + r)ⁿ = FV / PV и подставим значения;

1,14ⁿ = 20000 / 1000 = 20, отсюда n = log _1,14 20 = 22,86 года.

Ответ. 1000 рублей нарастится до 20000 рублей при 14% годовой ставке за 22,86 года.

При расчете  числа лет необходимо учитывать, что в формуле подразумевается целое число лет и цифры, рассчитываемые после запятой, имеют приблизительные значения, характеризующие близость к целому значению лет.

 
11. Какой должна быть ставка ссудного процента, чтобы 10 000 рублей нарастились до 30 000 рублей, за срок вклада 5 лет?

 

Преобразуем формулу к следующему виду:

r = (FV / PV)^1/n - 1 и подставим значения;

r = (30 000 / 10 000)^1/5 - 1;

r = 0,24573 или 24,573 %. 

Ответ. 10 000 рублей нарастятся до 30 000 рублей за 5 лет при ставке ссудного процента 24,573%

 
12.  Капитал величиной  4000 денежных единиц (д.е.) вложен в банк  на 80 дней под 5% годовых. Какова  будет его конечная  величина.

Решение.

Способ 1.

,

K’ = K + I = 4000+44=4044,

 где  K – капитал или заем, за использование которого заемщик выплачивает определенный процент;

I –  процентный платеж или доход,  получаемый кредитором от заемщика  за пользование денежной ссудой;

p –  процентная ставка, показывающая  сколько д.е. должен заплатить  заемщик за пользование 100 ед. капитала в определенном периоде времени (за год);

d –  время, выраженное в днях.

360 –  число дней в году.

Способ 2.

Время t = 80/360 = 2/9.

K’ = K + K×i×t = 4000(1 + 0.05×2/9) = 4044,

где i –  процентная ставка, выраженная в долях  единицы,

t –  время, выраженное в годах.

 
13. На сколько лет  нужно вложить  капитал под 9% годовых, чтобы  процентный платеж  был равен его  двойной сумме.

Решение

2×K = I.

2×K = K×9×g/100,

g = 2×100/9 = 22.22 

14. Величина предоставленного потребительского кредита – 6000 д.е., процентная ставка – 10% годовых, срок погашения – 6 месяцев. Найти величину ежемесячной выплаты (кредит выплачивается равными долями).

Решение

Таблица - План погашения кредита (амортизационный план)

Месяц	Долг	Процентный  платеж	Выплата  долга	Месячный   взнос
	6000	10%
1	5000	50	1000	1050
2	4000	42		1042
3	3000	33		1033
4	2000	25		1025
5	1000	17		1017
6	¾	8		1008
		175	6000	6175

 

Объяснение  к таблице

Месячная  выплата основного долга составит:

K / m = 6000/6 = 1000.

Месячный  взнос представляет собой сумму выплаты основного долга и процентного платежа для данного месяца.

Процентные  платежи вычисляются по формуле:

,

где I₁ – величина процентного платежа в первом месяце;

p –  годовая процентная ставка, %.

Общая величина выплат за пользование предоставленным кредитом:

=175.

Общая величина ежемесячных взносов:

=1029.

 
15. Вексель номинальной  стоимостью 20000 д.е.  со сроком погашения  03.11.05. учтен 03.08.05 при 8% годовых. Найти дисконт и дисконтировать величину векселя.

Решение

Так как  нам известна номинальная величина векселя, дисконт, находим по формуле:

=409,

где K_n – номинальная величина векселя;

d –  число дней от момента дисконтирования  до даты погашения векселя;

D –  процентный ключ или дивизор (D = 3600/p = 36000/8 = 4500).

Дисконтированная  величина векселя равна разности номинальной стоимости векселя  и дисконта (процентного платежа):

20000 –  409 = 19591.

 
16. Пусть в банк  вложено 20000 д.е.  под 10% (d) годовых.  Найти конечную сумму капитала, если расчетный период составляет: а) 3 месяца; б) 1 месяц.

Решение

При декурсивном (d)расчете сложных процентов:

K_mn = K×I_p/m^mn,  I_p/m = 1 + p/(100×m),

где K_mn – конечная стоимость капитала через n лет при p% годовых и капитализации, проводимой m раз в год.

а) K = 20000×I_2.5⁴ = 20000×(1 + 10/(100×4))⁴ = 20000×1.104 = 22076 д.е.

б) K = 20000×I_10/12¹² = 20000×(1 + 10/(100×12))¹² = 20000×1.105 = 22094 д.е.

При антисипативном (a) способе расчета сложных процентов:

K_mn = K×I_q/m^mn,  I_q/m = 100m/(100m - q),