Контрольная работа по "Финансовой математике"

где q –  годовой прцент.

а) K = 20000×(100×4/(100×4 – 10))⁴ = 20000×1.107 = 22132 д.е.

б) K = 20000×(100×12/(100×12 – 10))¹² = 20000×1.106 = 22132 д.е.

 
17. Номинальная годовая  ставка – 30%. Найти  уравнивающую процентную  ставку при начислении сложных процентов каждые 3 месяца.

Решение

= 6.779%.

 
18. Каждые три месяца  в банк вкладывается  по 500 д.е. Какова  будет совокупная  сумма этих вкладов  в конце 10-го  года при процентной  ставке 8% и годовой  капитализации.

 

Решение

Сначала для годовой процентной ставки 8% определим процентную уравнивающую ставку:

=1.9427%

Затем полученную уравнивающую ставку поместим в следующую формулу:

S_vmn = u× , где r_k = 1 + p_k/100,

где  v – число вкладов в расчетном периоде,

            n - число лет,

            m – число капитализаций  в год.

тогда

r_k = 1 + 1.9427/100 = 1.0194

S_4×10 = 500× = 500×60.8157 = 30407.84 д.е.

 
19. Насколько увеличатся  годовые вклады  по 2 000 д.е. в течение 4 лет при 8% годовых, если капитализация производится раз в три месяца и первый вклад вносится в конце первого года.

Решение

,

u₁ = u×I_2%⁴ / III_2% = 2000×1.0824 / 4.204 = 514.93 д.е.

S_nm = 514.93×III_2%^3×4 + 2000 = 514.93×13.6803 + 2000 = 
= 9044.41 д.е.

 
20. По одному из  вкладов в банке  в течение 20 лет  накоплено 200 000 д.е. Найти сумму, положенную на счет первоначально, если годовая процентная ставка (d) составляет 8%.

Решение

K₀ = K_n×r^-n = K_n×II_8%²⁰ = K_n×(1 + p/100)^-n = 200000×(1 + 8/100)^-20 =  
= 200000×0.21454 = 42909 д.е.,

где r = (1 + p/100) – сложный декурсивный  коэффициент.

 
21. Пусть первый вклад  в банк составляет 2000 д.е., а каждый последующий  уменьшается на 100 д.е. по отношению  к предыдущему.  Найти величину  вкладов в конце  10-го года, если  они производятся ежегодно, постнумерандо, процентная ставка – 4% годовых, капитализация ежегодная.

 

Решение

 
22. Найти текущую стоимость суммы 10 вкладов постнумерандо по 5000 д.е. при 8% годовых, если капитализация осуществляется каждые полгода.

 

Решение

При ежегодной  капитализации:

C₀ = a×IV_pⁿ = 5000×IV_8%¹⁰ = 5000×6.71=33550

 
23. Пусть величина займа равна 20000 д.е. Амортизация осуществляется одинаковыми аннуитетами в течение 10 лет при 2% годовых. Найти величину выплаты задолженности за второй и третий годы, если капитализация процентов производится ежегодно.

 

Решение

Таблица - План погашения займа (амортизационный план)

Год	Долг	Процентный  платеж	Выплата  долга	Аннуитет
1	20000	400	1826.53	2226.53
2	18173.47	363.47	1863.06
3	16310.41	326.21	1900.32

 
 

Пояснения к таблице

Аннуитет  вычисляем по формуле:

a = K×V_pⁿ = 20000×V_2%¹⁰ = 20000×0.1113 = 2226.53 д.е.

Чтобы определить выплату задолженности b₁, вычисляем величину процентного платежа I:

I₁ = K₁×p/100 = 20000×2/100 = 400 д.е.

Выплата задолженности представляет собой  разницу между аннуитетом и процентным платежом:

b₁ = a – I₁ = 2226.53 – 400 = 1826.53 д.е.

Таким образом, после первого года долг сократится на 1826.53 д.е. Остаток долга  равен:

K₂ = 20000 - 1826.53 = 18173.47 д.е.

Вычислим  процентный платеж на остаток долга:

I₂ = 18173.47×2/100 = 363.47 д.е.

Вторая  выплата составит:

b₂ = a – I₂ = 2226.53 – 363.47 = 1863.06 д.е.

Долг  уменьшится на величину 1863.06, остаток  долга составит:

K₃ = 18173.47 – 1863.06 = 16310.41 д.е.

Далее

I₃ = 16310.41×2/100 = 326.21 д.е.

Третья  выплата задолженности составит:

b₃ = a – I₃ = 2226.53 – 326.21 = 1900.32 д.е.

 
24. Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 10 000 руб. достигнет через 180 дней суммы 19 000 руб.

 

Решение: 

Вывод формулы для простой ставки процентов:

                      

                       

Ответ: простая ставка процентов равна 180%.

 
25. Кредит в размере 15 000 руб. выдан с 26.03 по 18.10 под простые 24% годовых. Определить размеры долга для различных вариантов начисления процентов.

Решение: 

Размер  долга:

;

   1) «английская практика»: Т=365 или 366 дней.

(дней)

(руб.)

2) «французская практика»: T=360 дней.

(дней)

(руб.)

3) «германская практика»: T=360 дней. 

(дня)

(руб.)

Ответ: размер долга составляет:

- согласно  «английской практике»:   17 031,781 руб.;

     - согласно «французской практике»: 17 060 руб.;

     - согласно «английской практике»:   17 020 руб.

 
26.  Банк объявил следующие условия выдачи ссуды на год: за I квартал ссудный процент 24%, а в каждом последующем квартале процентная ставка по ссуде увеличивается на 3%. Определить сумму к возврату в банк, если ссуда выдана на год и составляет 15 000 руб.(простые проценты)

 

Решение:

             

    T = 1 год = 360 дней    PV = 15 000 руб.        30×3 = 90 дней                                  

   Сумма начисленных процентов: 

;

            

            

Сумма к возврату:

     

= 19 275 (руб.) 

Ответ: сумма к возврату в банк составит 19 275 руб.

 
27. Договор вклада заключён сроком на 2 года и предусматривает начисление и капитализацию процентов по полугодиям. Сумма вклада 15 000 руб., годовая ставка 16%. Рассчитать сумму на счёте клиента к концу срока.

 

Решение:

PV = 15 000 руб.     n = 2 года     j = 16% = 0,16 m = 2                                    

Сумма на счёте клиента к концу срока:

     20 407,334 (руб.) 

Ответ: сумма на счёте клиента к концу  срока составит 20 407,334 руб.

 
28. Владелец векселя номинальной стоимости 19 000 руб. и сроком обращения 1 год предъявил его банку-эмитенту для учёта за 60 дней до платежа. Банк учёл его по ставке 60% годовых. Определить дисконтированную величину, то есть сумму, полученную владельцем векселя, и величину дисконта.

 

Решение:

FV = 19 000 руб.  T = 1 год = 360 дней     t = 60 дней    n = 1 год d = 60% = 0,6    

Величина  дисконта:

 

(руб.)

Сумма, полученная владельцем векселя:

  PV = FV – D ;

PV = 19 000 – 1 900 = 17 100  (руб.)

Ответ:

- величина  дисконта равна 1 900 руб.;

- сумма,  полученная владельцем векселя,  равна 17 100 руб.

 
29.  Определить значение годовой учётной ставки банка, эквивалентной ставке простых процентов 24% годовых (n = 1 год).

  Решение: 

i = 24% = 0,24   

n = 1 год                                   

Эквивалентная годовая учётная ставка:

;

Ответ: эквивалентная годовая учётная  ставка равна 19,4%. 

 
30. На вклады ежеквартально начисляются проценты по номинальной годовой ставке 16%. Определить сумму вклада для накопления через 1,5 года суммы 19 000 руб.

 

Решение: FV = 19 000 руб. j = 16% = 0,16, m = 4,    n = 1,5 года = года.                 

Сумма вклада: 

  15 015,976  (руб.)

Ответ: сумма вклада равна 15 015,976 руб.

 
31. Банк предлагает долгосрочные кредиты под 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов, 26% годовых с полугодовым начислением процентов и 20% годовых с ежемесячным начислением процентов. Определить наиболее выгодный для банка вариант кредитования.

 

Решение: n = 1 год      

1) m = 4, j =24% = 0,24 

2) m = 2,    j =26% = 0,26    

3) m = 12, j = 20% = 0,2

Эффективная процентная ставка:

  при  n=1 год:  ;

 

 

Ответ: выдача кредитов под 26% годовых с  полугодовым начислением процентов  банку выгоднее, т.к. эффективная годовая процентная ставка в этом случае больше (сумма кредита возрастает на 27,7% за год).