Контрольная работа по "Финансовой математике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Ноября 2012 в 18:28, контрольная работа

Описание

Работа содержит ответы на вопросы для экзамена (зачета) по "Финансовой математике"

Содержание

Задание 1…………………………………………………………………
Задание 2………………………………………………………………….
Задание 3…………………………………………………………………..
Список литературы………………………………………………………
3
11
17
23

Работа состоит из  1 файл

Фин мат.docx

— 244.31 Кб (Скачать документ)


МИНИСТЕРСТВО   ОБРАЗОВАНИЯ   И  НАУКИ  РОССИЙСКОЙ   ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ  АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ   ВЫСШЕГО   ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО   ОБРАЗОВАНИЯ

 

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ

ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ


 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

по дисциплине _________Финансовая математика_____________

на тему вариант 7

 

 

 

Студент _

(фамилия, имя, отчество)

факультет ____ __ финансово-кредитный_____

курс ______4________  группа

зач. книжка №

Преподаватель

(звание, степень, фамилия,  имя, отчество)

 

 

 

Челябинск – 2012

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Задание 1…………………………………………………………………

Задание 2………………………………………………………………….

Задание 3…………………………………………………………………..

Список литературы………………………………………………………

3

11

17

23


 

 

 

 

ВАРИАНТ 7

Задание 1

Имеются данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года - всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года (таблица 1.1).

Таблица 1.1

Кредиты от коммерческого  банка на жилищное строительство

t

1

2

3

4

5

6

7

8

Y(t)

38

48

57

37

40

52

63

38

t

9

10

11

12

13

14

15

16

Y(t)

44

56

67

41

49

60

72

44


 

Требуется:

  1. Построить адаптивную мултипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ; ; .
  2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
  3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
  • случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
  • независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения и ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ;
  • нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
  1. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
  1. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

Решение:

Будем считать, что зависимость  между компонентами тренд – сезонный временной ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

где

k – период упреждения;

- расчетное значение экономического  показателя для t-го периода.

, , - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода членов ряда с номером t-1 к t.

- значение коэффициента сезонности  того периода, для которого  рассчитывается экономический показатель;

L – период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных – L=12).

Уточнение (адаптация к  новому значению параметра времени  t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к 16 значениям Y(t) из таблицы 1.1. Линейная модель имеет вид:

Подготовим для использования  формул Хольта-Уинтерса:

- коэффициенты a(0) и b(0) – коэффициенты линейной модели для предыдущего периода t=0;

- коэффициенты сезонности  F(-3), F(-2), F(-1), F(0) для каждого квартала.

По первым 8-ми уровням  исходных данных построим регрессию  и определим коэффициенты:

a= 43,25 в качестве a (0);

b= 0,75 в качестве b (0).

Для оценки коэффициентов  сезонности рассмотрим исходные значения y(t) и «предсказанные y» найденные по построенной регрессии.

Коэффициент сезонности –  это отношение фактического y к результату расчета, найдем с помощью линейной модели.

Для первого квартала предыдущего  года используем данные по первому  кварталу 1 и 2 лет:

где:

Y – расчетное значение;

F (-3) = =0,86;

Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:

= 1,08;

= 1,28;

= 0,79.

Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта – Уинтерса с помощью формул: ;

Параметры сглаживания имеют  значения ; ; и обеспечивают удовлетворительную адекватность и точность модели. Рассчитаем значения , , и для t=1. Из уравнения, полагая, что t=0, k=1, находим:

A(t)=0,3×Y(t)/F(t)+(1-0,3)×[a(t-1)+b(t-1)];

b(t)=0,3×[a(t)-a(t-1)]+(1+0,3)×b(t-1)];

F(t)=0,6×Y(t)/a(t)+(1-0,6)×F(t);

Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.

Yp(1) = (43,25+1×0,75)×0,86 = 37,72;

a(1)= 0,3×38/0,86+(1-0,3)×(43,25+0,75) = 44,10;

b(1) = 0,3×(44,10-43,25)+(1-0,3)×0,75 = 0,78;

F(1) = 0,6×38/44,10+(1-0,6)×0,86 = 0,86;

Аналогично рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=2.

Yp(2) = (44,10+1×0,78)×1,08 = 48,50;

a(2)= 0,3×48/1,08+(1-0,3)×(44,10+0,78) = 44,74;

b(2) = 0,3×(44,74-44,10)+(1-0,3)×0,78 = 0,74;

F(2) = 0,6×48/44,74+(1-0,6)×1,08 = 1,08;

Продолжая аналогично для  t= 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, строят модель Хольта – Уинтерса. Максимальное значение t, для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y(t). Таким образом, максимальное значение t=16.

Результаты расчетов представим в таблице 1.2.

Таблица 1.2

Модель Хольта – Уинтерса

t

Y(t)

a(t)

b(t)

F(t)

Yp(t)

E(t)

отн.погр.

точки поворота

0

 

43,25

0,750

0,79

       

1

38

44,10

0,78

0,86

37,72

0,28

0,73

-

2

48

44,74

0,74

1,08

48,50

-0,50

1,05

-

3

57

45,23

0,67

1,27

58,02

-1,02

1,79

1

4

37

46,26

0,77

0,79

36,07

0,93

2,52

1

5

40

46,87

0,73

0,86

40,44

-0,44

1,11

1

6

52

47,82

0,79

1,08

51,22

0,78

1,50

-

7

63

48,95

0,89

1,28

61,56

1,44

2,29

1

8

38

49,24

0,71

0,78

39,59

-1,59

4,18

1

9

44

50,39

0,84

0,87

42,76

1,24

2,81

1

10

56

51,38

0,89

1,09

55,48

0,52

0,92

-

11

67

52,30

0,90

1,28

66,83

0,17

0,25

-

12

41

53,00

0,84

0,78

41,53

-0,53

1,30

1

13

49

54,65

1,08

0,88

46,64

2,36

4,83

1

14

60

55,57

1,03

1,08

60,59

-0,59

0,99

1

15

72

56,50

1,00

1,28

72,46

-0,46

0,64

1

16

44

57,25

0,93

0,77

44,64

-0,64

1,47

-


 

2) Оценим точность построенной  модели с использованием средней  относительной ошибки аппроксимации.

E (t) = Y (t)-Y p (t) ;

E(1)=38-37,72=0,28;

E(2)=48-48,5= -0,50;

Аналогично рассчитаем последующие  E(t). Результаты расчетов представим в таблице 1.2.

Для того чтобы модель была качественной, уровни остаточного ряда E(t) (разности - между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения , поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах в среднем не превышает 5%.

100%×abs{E(t)}/Y(t);

1 относ. погр. =  100%×abs (0,28/38) = 0,73;

2 относ. погр. = 100%×abs (-0,50/48) = 1,05 и т.д.

Аналогично рассчитаем последующие  относительные погрешности.

Суммарное значение относительных  погрешностей составляет 28,36, что дает среднюю величину 28,36 / 16 = 3,34%.

Вывод: Условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Точность построенной модели свидетельствуют о хороших прогностических свойствах модели, следовательно, условие точности выполнено, т.к. 3,34% < 5%.

3) Оценим адекватность  построенной модели на основе  исследования:

а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков:

Общее число поворотных точек  равно p = 10.

Рассчитаем значение  p kp:

p kp=2×(N-2)/3-2× ;

p kp=2×(16-2)/3-2× =28/3-2 = 6,22.

Рис.1.1. График остатков.

Вывод: Если количество поворотных точек p больше p kp, то условие случайности уровней выполнено. В этом случае p = 10 > p kp = 6, значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

б) независимости уровней ряда остатков по d-критерию и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r(1)=0,32:

- по d-критерию Дарбина-Уотсона:

;

d = 43,99 / 16,32 = 2,69;

Вывод: Величина d=2,69 >2, значит, имеет место отрицательная автокорреляция, поэтому необходимо уточнить величину d, вычитая из 4 величину d:

4-2,69=1,3

Полученное значение 1,3 сравним  с d1=1,10 и d2=1,37.

Так как d2=1,1<d=1,3<1,37, значит уровни ряда E (t) остатков являются независимыми.

- по первому  коэффициенту автокорреляции r(1):

;

r (1) = -5,92 / 16,32 = -0,363.

Вывод: Модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения |-0,363|>0,32, значит, уровни ряда остатков нельзя считать независимыми.

в) нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию:

Рассчитаем значение R/S:

R/S = (Emax – Emin) / S;

где:

Emax – максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

Emin – минимальное значение уровней ряда остатков E(t);

S – среднее квадратическое отклонение. 

Emax = 2,36; Emin = -1,59;

Emax – Emin =2,36-(-1,59) = 3,95;

=1,035;

R/S = 3,95 / 1,035 = 3,816.

Вывод: Полученное значение R/S: 3,0 < 3,816 < 4,21; попадает в заданный интервал, значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности построения прогноза показателя Yp(t) на четыре квартала вперед.

4) Построим точечный прогноз  на четыре шага вперед:

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Рассчитав значения a(16) и b(16)можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t). Для t=17 имеем:

Yp (17) = [a(16) +1×b(16)]×F(13) = (57,25+1×0,93) ×0,88=51,45;

Аналогично находим Yp(18), Yp(19), Yp(20):

Yp (18) = [a(16) +2×b(16)]×F(14) = (57,25+2×0,93)×1,08=63,99;

Yp (19) = [a(16) +3×b(16)]×F(15) = (57,25+3×0,93)×1,28=76,64;

Yp (20) = [a(16) +4×b(16)]×F(16) = (57,25+4×0,93)×0,77=47,04.

5) Отразим на графике  фактические, расчетные и прогнозные  данные:

1.Модель Хольта-Уинтерса

 

 

ВЫВОД: Точность модели достаточно высокая, однако модель не является адекватной, т. к для нее выполняются не все свойства оценки качества (свойство независимости остатков не выполняется).

Использовать модель можно только в учебных целях.

 

 

Задание 2

 

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней (таблица 2.1).

Таблица 2.1.

Исходные данные о  ценах

Дни

Цены

макс.

мин.

закр.

H

L

C

1

663

605

610

2

614

577

614

3

639

580

625

4

625

572

574

5

600

553

563

6

595

563

590

7

608

590

598

8

610

573

580

9

595

575

595

10

600

580

580

Информация о работе Контрольная работа по "Финансовой математике"