Решение дифференциальных уравнений

 

   Лабораторная  работа № 7

   Решение дифференциальных уравнений

   Вариант 1 

   Используя метод Эйлера, составить  таблицу приближенных значений интеграла  дифференциального  уравнения  , удовлетворяющего начальным условиям на отрезке ; шаг h=0,1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками. Решить данную задачу с помощью Matlab, составив программу для нахождения решения с помощью метода Рунге-Кутты. 

   Решение

   Сначала решение задачи ведется методом Эйлера с уточнением. Каждое значение , где – искомая функция, а , определяется следующим образом. За начальное приближение берется , где . Найденное значение  уточняется по формуле .

   Вычисления  представлены в таблице 7.1

Таблица 7.1

 

   Таким образом, ответом являются значения .

   Далее составлена программа в среде  Matlab для решения уравнения методом Рунге-Кутты.

   function [x,y]=RK(y0,a,b,h)

   y(1)=y0;

   x(1)=a;

   for i=1:1:(b-a)/h+1

       x(i+1)=a+i*h;

   end

   for i=1:1:(b-a)/h+1

       k1=f(x(i),y(i));

       k2=f(x(i)+h/2,y(i)+h/2*k1);

       k3=f(x(i)+h/2,y(i)+h/2*k2);

       k4=f(x(i)+h,y(i)+h*k3);

       y(i+1)=y(i)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);

   end

   x=x';

   y=y';

   В качестве входных параметров функция  использует начальное условие, отрезок, на котором ведется решение, и шаг. В каждой точке сетки вычисляются четыре необходимых коэффициента. В результат выводятся два вектора – аргументы функции и соответствующие значения функции.

   Чтобы использовать составленную программу, дополнительно составлена функция:

   function f=f(x,y)

   f=x+cos(y/sqrt(5));

   Это позволяет изменять исходное уравнение, не меняя основной программы. После запуска функции получены следующие результаты:

   >> [x, y] = RK(2.6, 1.8, 2.8, 0.1) 

   x = 

       1.8000

       1.9000

       2.0000

       2.1000

       2.2000

       2.3000

       2.4000

       2.5000

       2.6000

       2.7000

       2.8000 
 

   y = 

       2.6000

       2.8201

       3.0408

       3.2619

       3.4831

       3.7045

       3.9260

       4.1478

       4.3700

       4.5931

       4.8172

   Для сравнения решений различными способами  построены два графика (рис. 7.1).

   Таким образом, по графикам можно видеть, что решения, полученные методом Эйлера и методом Рунге-Кутты различаются в данном примере незначительно. Однако для большого количества задач метод Рунге-Кутты дает более точную оценку. Эта обусловлено различной точностью методов, метод Рунге-Кутты дает меньшую погрешность и является более предпочтительным для использования, хотя и требует большего количества вычислений.