ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 

 
 
 
 
 
 

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«ТОМСКИЙ  ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ» 
 
 
 
 

КУРСОВОЙ  ПРОЕКТ

«ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

         Выполнила:

         студентка гр. 8Б60

         Чурина Ю.С.

                                                  

         Проверил:

         доцент кафедры ПМ

         Козловских А.В. 
 
 
 
 
 

Томск 2008 г.

 

Содержание. 

1. Введение…………………………………………………………………….3
2. Постановка задачи………………………………………………………… 4
3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР…………………….5
4. Построение фундаментальной матрицы решений

методом Эйлера…………………………………………………………….7

5. Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда ………13
6. Построение общего решения матричным методом ……………………18
7. Решение задача Коши…………………………………………………….23
8. Исследование зависимости жордановой

формы матрицы А от свойств матрицы системы……………………….26

9. Решение неоднородной системы………………………………………...27
10. Заключение………………………………………………………………..30
11. Приложение……………………………………………………………….31
12. Список литературы……………………………………………………….34

 

 

1. Введение. 

    Рассмотрим  систему линейных уравнений первого  порядка, записанную в нормальной форме: 

    

                      (1)

     

    где коэффициенты а_ij , i=1,2,…..,n, к=1,2,…,n, являются постоянными величинами;

      y_i=y_i(t), i=1,2,…,n - неизвестные функции переменной t.

      Если все b_i(t) ( i=1,2,…,n) положить равным нулю (b_i(t)=0), то получится однородная система, соответствующая неоднородной системе (1).  

      Обозначая матрицу системы через А(х), а вектор через тогда систему (1) можем переписать в матричной форме

    

    (1а)

    Если  , то получаем соответствующую систему однородных уравнений

    

.      (2) 

    Всякая  совокупность n функций

    

     

    определенных  и непрерывно дифференцируемых в  интервале (a;b), называется решением системы (1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества:

    

 

    справедливые  при всех значениях x из интервала (a,b). Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы  и частного решения неоднородной. 
 
 
 
 
 

    2. Постановка задачи. 

    Цель  работы: исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей: 

     ;  ; 

Задание

1. Найти собственные числа и построить фундаментальную систему решений (ФСР).
2. Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера.
3. Найти приближенное решение в виде матричного ряда.
4. Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость  Жордановой формы матрицы А от ее собственных чисел.
5. Решить задачу Коши.
6. Решить неоднородную систему.

 

Вектор правых частей [2; 3; 7; ]

Начальные условия:

Вектор начальных  условий: [1, 2, 3,3]

х = 0

 

3. Нахождение собственных  чисел и построение  ФСР.

 

    Однородной  линейной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида: 

     

          (3)

      Если  в матрице системы  все =const, то данная система называется системой с постоянными коэффициентами или с постоянной матрицей.

    Фундаментальной системой решений  однородной линейной системы уравнений называется базис линейного пространства решений a, т.е. n линейно независимых решений этой системы.

    Для построения фундаментальной системы  решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического  полинома, так как в зависимости от их вида (характеристические числа могут быть действительными разными, кратными, комплексными) строится фундаментальная система решений.

    Для того чтобы эта система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (вронскиан) не был равен нулю:

                    (4)                        

    Из  этого уравнения степени  n определяется значение k, при которых система имеет нетривиальные решения. Уравнение (4) называется характеристическим.

    Запишем характеристический полином:

      

    

      

    Определим кратность полученных корней, для  этого воспользуемся функцией FACTOR, которая представит найденный характеристический полином в виде, следующих функций: 

               

    

    Таким образом, получено четыре корня. Корни действительные разные: один корень равен 2, а второй корень равен -2 и имеет кратность равную 3.

    Тогда, вектора, образующие ФСР будут строиться  отдельно для случая действительных разных и действительных кратных корней  кратности 3.

    Рассмотрим  получение ФСР для однородного  уравнения, вида   

    a_nx⁽ⁿ⁾ + a_n-1 x^(n-1)+. . . . . +a_оx=0,

      где a_n, a_n-1, ……, a₀- действительные числа. 

      Общее решение данного уравнения  представляет собой линейную  комбинацию частных решений, входящих  в фундаментальную систему решений,  то есть комбинацию любых n линейно- независимых частных решений уравнения. Вид этих решений и метод их нахождения определяет следующий частный случай данного уравнения: x’+ax=0.Это линейное уравнение первого порядка имеет решение x(t)=e^-at. Предположим, что решение уравнений высших порядков имеют такую же форму, т.е. будем искать частное решение данного уравнения в виде x(t)=e^-lt, где l- некоторое подлежащее определению число.

    Запишем функции, образующие фундаментальную  систему решений:

      EXP(2х)

      EXP(-2х) 

      хEXP(-2х)

      EXP(-2х) 

    Этот  метод решения был впервые  применен Эйлером.

 

     4.Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера.

 

    Метод Эйлера заключается в следующем.

    Решение системы (1) находится в виде:

  (5) 

      Функция (5) является решением системы (1), если – собственное значение матрицы А, а а – собственный вектор этой матрицы, соответствующей числу . Если собственные значения ₁, ₂, … , _n матрицы А попарно различны и a₁, a₂, …, a_n соответствующие собственные векторы этой матрицы, то общее решение системы уравнений (1) определяется формулой : 

 

где С₁, С₂, … , С_n – произвольные числа.

    Для случая кратных корней решение системы  принимает вид

          (6)

где Pi(x)-полиномы степени не выше, чем (к-1), имеющих  в совокупности к произвольных коэффициентов. Так что среди коэффициентов этих полиномов к коэффициентов являются произвольными, а оставшиеся к·n-k выражаются через них. Для отыскания коэффициентов полиномов подставим решение (6) в исходную систему уравнений, приравняем коэффициенты при одинаковых функциях. Решим систему по отношению к (k·n-k) коэффициентов. Получим выражение всех коэффициентов через свободные.

   Если  для кратного собственного значения матрицы А имеется столько линейно независимых собственных векторов , какова его кратность, то ему соответствует k независимых решений исходной системы:

   

   Если  для собственного значения кратности k имеется только m (m<k) линейно независимых собственных векторов, то решения, соответствующие , можно искать в виде произведения векторного многочлена степени k - m на , т.е. в виде:

   

   Чтобы найти векторы  , надо подставить выражение (4) в систему (3). Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой частях системы, получим уравнение для нахождения векторов .

   Для данного задания были найдены следующие собственные значения: λ = 2, λ = -2.      

   Запишем собственный вектор для λ = 2, используя функцию EXACT_EIGENVECTOR:

   

   Тогда собственный вектор имеет следующий  вид:

   

   Тоже  самое сделаем для λ = -2.

   

     

   Запишем решения, соответствующие трехкратному корню, где степень полинома (k-1):

     

Подставим полученное решение для λ = -2 в исходное уравнение:

1. умножим наше «как бы» решение на матрицу
2. получим выражение
3. найдем первую производную от нашего решения
4. подставим все в исходное уравнение и используя функцию EXPAND, найдем коэффициенты, стоящие при одинаковых функциях

 

 
 
 
 

Приравняем коэффициенты, стоящие при одинаковых функциях и решаем систему с помощью функции SOLVE: 

 
 

Запишем коэффициенты  через две произвольные постоянные

 

Подставим найденные  коэффициенты, и получим множество решений, соответствующих λ = -2:

Получим следующее  множество решений для λ = -2:

 

   

Таким образом, запишем фундаментальную  матрицу решений, которая состоит из собственных векторов, записанных в форме матрицы и умноженных на вектор произвольных коэффициентов v_i: