государственное образовательное  учреждение высшего

профессионального образования

нижегородский  государственный  технический

университет 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа

 

“Численные  решения  обыкновенных дифференциальных уравнений” 
 

                                                                                Разработала:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                2011г. 

Задание

    1.Численное решение задачи Коши  для обыкновенного дифференциального  уравнения первого порядка:

                      

                      cosy-y√x=0,

с начальными условиями:

                      y₀ (3.8) =10.2

на отрезке  [3.8;4.8]

    2.Численное решение задачи Коши  для обыкновенного дифференциального  уравнения второго порядка: 

                      y”+y+y’lnx=0,

с начальными условиями:

                      y₀ (1.4) =1.8

                      у¢(1.4)=2.3

на отрезке  [1.4;2.4] 

  Решить  данные уравнения аналитически, а также с помощью двух численных  методов: Эйлера и Рунге-Кутта.  Сравнить результаты, полученные аналитическим  и  численными методами. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание приняла к исполнению студентка  группы  

06-ПИМП  Чернышова Е. А. 
 
 

    “___”        _______________ 2007 г.           _________________ 

Руководитель  Жаринов И. В.                           _________________ 
 
 
 
 
 

Содержание

 

Введение………………………………………………………………………….

1.Краткая характеристика используемых метод………………………………...

1.1 Метод Эйлера…………………………………………………………………..

1.2 Метод Рунге-Кутта…………………………………………………………….

2. Решение однородного дифференцированного уравнения первого порядка.

1. Аналитическое решение………………………………………………………
2. Решение методом Эйлера……………………………………………………..

2.3 Решение методом  Рунге-Кутта.........................................................................

2.4 Сравнение  результатов решений (график)…………………………………..

3. Решение однородного дифференцированного уравнения второго порядка.

3.1 Аналитическое  решение……………………………………………………….

3.2 Решение методом  Эйлера……………………………………………………...

3.3 Решение   методом Рунге-Кутта……………………………………………….

3.4 Сравнение результатов решений (график)……………………………………

Вывод……………………………………………………………………………..

Литература……………………………………………………………………… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                             
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

     Обыкновенные  дифференциальные уравнения широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники. Переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.

     Обыкновенным  дифференциальным уравнением n-го порядка называется выражение   y⁽ⁿ⁾=F(x, y, y’, y”,...,y^(n-1))     (1), устанавливающее связь между независимой переменной x , искомой функцией y(x) и ее производными до n-го порядка включительно.

     Любое уравнение n-го порядка (1) может быть представлено системой n дифференциальных уравнений первого порядка:

                 y’=y₁(x);

                 y’₁=y₂(x);

                 . . . . . . . .

                 y’_n-2=y_n-1(x);

                 y’_n-1=f(x, y, y₁(x),...y_n-1(x)).

     Для решения этой системы используются методы, которые являются простым  обобщением методов решения одного дифференциального уравнения первого  порядка.

     Порядком  дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Так, например, уравнение y’-2xy²+5=0 есть уравнение первого порядка. Уравнение y”+ky’-by-Sinx=0 есть уравнение второго порядка и т.д.

     Решением  дифференциального уравнения (1) называется функция y(x) , которая при подстановке в уравнение (1) обращает его в тождество. Так как таких решений у дифференциального уравнения в общем случае существует бесконечное множество, то каждое такое решение в отдельности называется частным решением дифференциального уравнения. Но все эти решения могут быть объединены в так называемое общее решение:  y(x, c₁, c₂,...,c_n) , где c₁, c₂,...,c_n – произвольные постоянные, принимающие для каждого отдельного частного решения определенные значения, удовлетворяющие наперед заданным условиям.

     Если такими условиями являются численно заданные значения функции y и ее производных y’, y”,...,y^(n-1) при одном и том же значении аргумента, т.е.

           y(x₀)= y₀,

           y’(x₀)=y₁,                                    (2)

           y”(x₀)=y₂,

           . . . . . . . .

           y^(n-1)(x₀)=y_n-1,

то совокупность дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2) называется задачей Коши интегрирования дифференциального уравнения (1).

      Так как подавляющее большинство  дифференциальных уравнений решить аналитически очень трудно или невозможно, то огромное значение имеют методы их численного приближенного решения. Наиболее известными являются метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.

      Целью данной работы является рассмотрение и изучение решения задачи Коши для  обыкновенных дифференциальных уравнений  первого и второго порядков; решить уравнения аналитически, а также двумя численными методами – Эйлера и Рунге-Кутта; выяснить какой из этих методов более точен и удобен в использовании. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     1. Краткая характеристика используемых методов.

      Результатом решения задачи Коши численным методом  является функция, представляющая собой  приближенное решение дифференциального уравнения в виде таблицы чисел 

где x₀ и y₀ берут из начального условия.

      1.1 Метод Эйлера.

     Пусть дано дифференциальное уравнение первого  порядка   y’=f(x, y) с начальными условиями y(x₀)=y₀ , х принадлежит отрезку [х₀;х ].

      Так как производная функции определяется соотношением

то можно приближенно заменить ее на разностное отношение

   , где y_i=y(x) ; h=x_i-x_i-1

Выражая из этого  отношения y_i ,получим расчетную формулу метода Эйлера

      y_i=y_i-1 + h ^. f(x_i-1;y_i-1),

так как y’ заменили на f(x, y).

      Графическая интерпретация.

               

     y

           

     y₁ f(x,y) 

     y₀ 
 

      x₀      x₁                         

    Точка с координатами (x₀,y₀) откладывается на основании начальных условий. Чтобы получить следующее значение искомой функции y₁ , соответствующее значению аргумента x₁=x₀+h , рисуем касательную к графику в точке (x₀;y₀) и продолжаем ее до пересечения с вертикалью x=x₁ . Полученная точка пересечения является приближенным значением y₁ искомой функции, соответствующим значению аргумента x₁ . из вновь полученной точки рисуем наклонную прямую, параллельную касательной к графику истинного решения до пересечения с вертикалью следующего аргумента. Продолжая эту процедуру дальше, получим приближение искомой функции в виде ломаной.

     Использование метода Эйлера для решения дифференциальных уравнений второго и т.д порядков сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Пусть требуется решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на заданном промежутке с заданными начальными условиями:

                                                 

                          

перепишем систему в виде       ,                                                                                                     

Расчётные формулы метода Эйлера для системы  обыкновенных уравнений первого  порядка имеют вид: 

                            , здесь  

при начальных условиях:

  

    
 

           1.2 Метод Рунге-Кутта.

  В  данном методе используется разложение  функции в ряд Тейлора, которое  имеет вид:

f(x) = f(x₀)+f ‘(x₀) ^. (x-x₀)+ (f “(x₀)/2!) ^. (x-x₀)²+(f ‘“(x₀)/3!) ^. (x-x₀)³+....