Численные решения обыкновенных дифференциальных уравнений

 

      Программа метода на языке Qbasic : 

CLS

x1 = 3.8: y1 = 10.2: h = .1: x3 = 4.8: y = y1

FOR x = x1 TO x3 STEP h

PRINT #1, "x="; x, "y="; y

x2 = x: y2 = y: GOSUB 1

k1 = h * f

x2 = x + h / 2

y2 = y + k1 / 2

GOSUB 1

k2 = h * f

y2 = y + k2 / 2

GOSUB 1

k3 = h * f

x2 = x + h

y2 = y + k3

GOSUB 1

k4 = h * f

y = y + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

NEXT x

PRINT #1, "x="; x, "y="; y

END

1 f = COS(Y)/ SQR(X)

RETURN

      Результаты  счета по программе:

x= 3.8         у= 10.16336

x= 3.9         y= 10.25048 

x= 4.0         y= 10.29865

x= 4.1         y= 10.34765 

x= 4.2         y= 10.39658  

x= 4.3         y= 10.44457 

x= 4.4         y= 10.49199

x= 4.5         y= 10.53872   

x= 4.6         y= 10.58542

x= 4.7         y= 10.63091

x= 4.8         y= 10.67583     
 
 
 
 
 
 
 

     Блок-схема метода Рунге-Кутта 

начало

x1=3.8:y1=10.2:h= .1:x3=4.8:y=y1

x=x1

печать  x,y

x2=x: y2=y: k1=h*f 

x2=x+h/2: y2=y+k1/2: k2=h*f

y2=y+k2/2: k3=h*f

x2=x+h: y2=y+k3: k4=h*f

y=y+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6

x=x+h 

                                                                                                   да

x<x3                 

             нет

печать  x,y

конец 

Здесь f= cosy/√x 
 
 
 
 
 
 

 

2.4 Сравнение полученных  результатов. 
 

    После решения задачи Коши  для заданного дифференциального уравнения первого порядка разными методами, можем сравнить полученные результаты. Для этого поместим их в общую таблицу и построим график. 

Таблица 1: сравнение полученных результатов

 

График 1:сравнение  полученных результатов

    Из графика видно, что результаты  счета вручную и с помощью  метода Рунге-Кутта совпадают,  но они немного отличаются  от результатов счета по программе  Эйлера. С ростом аргумента увеличивается разница между значениями функции. 
 
 

     3 Решение обыкновенного  дифференциального  уравнения второго  порядка.

     3.1 Аналитическое решение.

                                                                                                             y”+y+y’lnx=0, [1.4;2.4] ,y(1,4)=1,8 ; y’(1,4)=2,3

Попробуем решить данное уравнение с помощью замены:

y’= yz,

y”= y’z+yz΄=yz²+yz΄,

yz²+ y’z+y+ yzlnx=0,

1.y=0

2. z΄+z²+1+zlnx=0,

z΄+lnxz=-(z²+1).

Это уравнение Риккати. Его можно решить с помощью подбора коэффициентов, в данном выражении этого сделать нельзя, значит, исходное уравнение аналитически не решается.

      3.2 Решение методом  Эйлера.

      С помощью метода Эйлера найти на отрезке  [1.4;2.4] с шагом h=0,1 приближенно решение уравнения

                 y”+y+y’lnx=0,

с начальными условиями  y(1,4)=1,8 ; y’(1,4)=2,3

 Для решения представим уравнение  в виде :

      y’=z

     z’=-(y+zlnx)

Далее проведем ручной счет по методу Эйлера, используя  следующие расчетные формулы: 

                           

где  f₁(x, y, z)=z ; f₂(x, y, z)=12y+z  

     Расчетная таблица :

 
 
 
 

Составим программу  метода на языке Qbasic : 

CLS

x0 = 1.4: y0 = 1.8: z0 = 2.3: h = .1: xn = 2.4

y = y0

z = z0

x = x0

PRINT #1, USING "##.#"; x;

PRINT #1, USING "##.#####"; y

FOR x = x0 TO xn STEP h

y = y + h * z

z = z + h * (-(y+z*LOG(x)))

PRINT #1, USING "#.#"; x + h;

PRINT #1, USING " ##.#####"; y

NEXT x

END

      Результаты  счета по программе :

x= 1.4           y= 1.8

x= 1.5            y=2.03

x= 1.6            y= 2.231961

x= 1.7            y= 2.403414

x= 1.8            y= 2.542774

x= 1.9            y= 2.649312

x= 2.0            y= 2.723094

x= 2.1            y= 2.76491

x= 2.2            y= 2.776178

x= 2.3            y= 2.758848

x= 2.4            y= 2.715297 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Блок-схема метода Эйлера

                              

                               

 
 

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.3 Решение методом  Рунге-Кутта. 

Тоже уравнение  решить методом Рунге-Кутта.

      Координаты  точки  (x₀, y₀, z₀), заданной в начальных условиях подставим в формулы для нахождения K1₁; K2₁; K1₂; K2₂; K1₃; K2₃; K1₄; K2₄ вместо x_i-1; y_i-1; z_i-1 . Найденные коэффициенты подставляем в формулы для нахождения y_i и z_i , и находим значения y₁ и z₁ , соответствующие значению аргумента x₁=x₀+h. Чтобы получить следующие значения y₂; z₂ , используем x₁; y₁; z₁ в качестве x_i-1; y_i-1; z_i-1 и так далее. 

                        Расчетная таблица: