Математические модели движения снейкборда

    (4) 

          Здесь через  k²обозначено выражение : 
 

          После того, как найдено выражение для  V(t), из третьего уравнения системы получаем:

    (5)

          Далее, найдя выражение для θ(t), мы можем получить из первых двух уравнений системы:

    (6) 
 

          Таким образом, задача о движении снейкборда при произвольном законе изменения управляемых переменных сведена к квадратурам (4)-(6). Однако исследование полученного решения при заданном законе изменения ψ(t), ϕ(t) представляет собой довольно сложную задачу.  

          Далее делается предположение о том, что управляемые переменные изменяются по синусоидальному закону.

3. Основные положения для дальнейшего исследования 

          Из наблюдений за движением райдеров было сделано предположение, что переменные ψ и  ϕ изменяются по закону: 
 

          Амплитуда  a^p в выражении для ϕ удовлетворяет неравенству a^p≤0.5 рад. При этом, поскольку     В В этом промежутке изменения угла ϕ, основываясь на свойствах тригонометрических функций, мы будем приближенно считать, что 
 

    т.е. будем пренебрегать величинами, имеющими по параметру a^p порядок малости выше третьего. Предположение, что амплитуда a^p меняется в указанных пределах, вполне оправдано конструктивными особенностями снейкборда. Кроме того, полагаем, что начальные значения всех основных переменных – нулевые, т.е. V (0)=0,θ (0) =0,x (0) =0, у(0)=0.

          С учетом всех этих предположений мы получаем следующую упрощенную формулу для скорости центра масс системы  V(t):

    (7)  
 
 
 

          Таким образом, можно сделать вывод, что характер движения райдера на снейкборде зависит от соотношения между частотами ω^r и ω^p.

4. Нерезонансный случай 

          В случае, когда ω^r≠ω^p выражения для основных переменных задачи получаются довольно громоздкими. Для упрощения соответствующих формул введем дополнительное обозначение: будем обозначать                        величину:

          Тогда, производя интегрирование в формуле (7), получим для  V(t) следующее выражение:  
 
 
 

          Подставляя полученное выражение в интеграл (5) и сохраняя лишь члены, содержащие  a^p в степени, меньше третьей, после интегрирования найдем:

 
 

при  любом значении t ограничена. Следовательно, в общем случае функция θ(t) имеет второй порядок малости по a^p и приближенно можно считать  
 

Интегрируя, получаем следующие формулы для  x(t) и y(t):  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

          Видно, что при некоторых соотношениях на частоты ω^r и ω^p знаменатели дробей, входящих в полученные выражения для V(t), θ(t), x(t) и y(t) могут обращаться в нуль. Перечислим здесь все имеющиеся случаи: