Математические модели в экономике

Задание №1

Объём выпуска продукции Y зависит  от количества вложенного труда x как  функция

. Цена продукции v, зарплата p. Другие издержки не учитываются.  Найти оптимальное количество  вложенного труда.

Решение:

Оптимальное количество вложенного труда обозначим через x^*

Определим прибыль 

Воспользуемся соотношением – т.е. частные производные приравняем к нулю, найдём оптимальное количество вложенного труда

убыток W(х*)=5´(0,3´100²–10)–300´100=–15050

при производительности труда (0,3´100²–10)=2990

функция хотя и не имеет максимума, но является восходящей и при х>201 является положительной

Задание №2

Даны зависимости спроса D=300-p и  предложения S=60+2p от цены. Найдите равновесную цену, цену при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

Решение:

Равновесная цена находится путём  приравнивания спроса и предложения, т.е. 300-p=60+2p; p`=80 – равновесная цена.

Найдём выручку при равновесной  цене:

Найдём цену, определяющую максимум выручки. При p´(300–p) максимум достигается в точке p`=150 (определили через производную). W (150)=150*(300–150)=22500

Таким образом, максимальная выручка W(p)=22500 достигается не при равновесной  цене.

Задание №3

Найти решение матричной игры (оптимальные  стратегии и цену игры)

.

Решение:

1-й способ. Проверим на наличие седловой точки. Седловая точка является одновременно наименьшим элементом строки и наибольшим элементом столбца. В матрице седловой точки нет.

 Выигрыш первого есть случайная  величина с рядом распределения:

Найдём средний выигрыш за партию первого – это математическое ожидание случайной величины W(x,y):

Оптимальные стратегии игроков:

2-й способ. Если решить эту игру как матричные игры двух игроков с нулевой суммой, то для игры с матрицей оптимальные смешанные для 1 и 2 игроков и цена игры получаются из решения уравнений:

Откуда, Оптимальные стратегии  игроков: