Экономико-математические методы и модели

Введение

В настоящее время  экономико-математические методы и  модели являются одним из наиболее перспективных и быстро развивающихся направлений экономической науки. Это обусловлено бурным развитием вычислительной техники и всеобщей компьютеризацией.

Специалист в области экономики должен хорошо разбираться в экономико-математических методах и моделях, уметь их практически применять для моделирования реальных экономических ситуаций. Это позволит лучше усвоить теоретические вопросы современной экономики, повысить уровень квалификации и общей профессиональной культуры специалиста. Изучение вопросов экономико-математического моделирования является одним из аспектов фундаментальной подготовки экономистов.

Одним из способов контроля и повышения знаний, предусмотренным в рамках курса, является контрольная работа. Контрольная работа выполняется с использованием программного обеспечения для расчета МОБ и текстового редактора Word. В данной работе автор выполнит расчеты и операции с моделью МОБ и выявит влияние от изменения удельной условно-чистой продукции.

 

Экономика условно разделена  на четыре сектора (А, Б, В и Г).

Исходные данные для проведения расчетов.

 

Таблица 1. Коэффициенты прямых материальных затрат

0.07	0.10	0.00	0.15
0.03	0.03	0.04	0.12
0.15	0.05	0.04	0.07
0.10	0.07	0.10	0.05

 

Таблица 2.  Объемы конечной продукции
Отрасли экономики
А	Б		В		Г
350	250		200		150
Таблица 3.       Цены на продукцию отраслей
Отрасли экономики
А		Б		В	Г
5		15		5	10

 

Таблица 4. Изменение удельной условно-чистой продукции

Отрасли экономики
А	Б	В	Г
5	-	-	-10

 

 

 

 

 

Часть 1. Предварительная работа и исследование методов решения МОБ.

 

Обозначим через Xi; (i=l, n) валовую продукцию i-ой отрасли.

Введем в рассмотрение xij, (i=l, n), которое выражает количество продукции i-ой отрасли необходимое для производства продукции j-ой отрасли. Хij, (i=1, n) еще называют производственно-эксплуатационными нуждами отраслей, а также межотраслевыми поставками.

Обозначим через Yj, (i=l, n) конечную продукцию i-ой отрасли.

Наконец, обозначим через Zj, (j=l, n) условно чистую продукцию j-ой отрасли.

В данной задаче система уравнений  будет иметь вид:

X1 = 0.07x1 + 0.10x2 + 0.00x3 + 0.15x4 + 350

X2 = 0.03x1 + 0.03x2 + 0.04x3 + 0.12x4 + 250

X3 = 0.15x1 + 0.05x2 + 0.04x3 + 0.07x4 + 200

X4 = 0.10x1 + 0.07x2 + 0.10x3 + 0.05x4 + 150

Решение может быть найдено  как с помощью точных (прямых) методов, так и с помощью приближенных (итерационных) методов.

Прямые методы позволяют найти точное решение за конечное число шагов.

Итерационные методы теоретически также позволяют найти  точное решение, но при этом число  шагов будет бесконечным.

Приближенными методами решения данной системы уравнений являются метод простой итерации и метод Зейделя, позволяющие найти приближенный ответ с определенной точностью. Процесс вычислений продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие:

| Xj^(k)- Xj^(k-1) |   е, (i = l,n)

 

Результаты вычислений приведены в следующей таблице 5:

 

Таблица 5. Метод простой итерации и Метод Зейделя

точность е	кол-во итераций методом  простых итераций	кол-во итераций методом  Зейделя
0,0001	12	9
0,001	11	8
0,01	9	7
0,1	7	6
1	5	4

 

Процесс вычисления в  методе Зейделя продолжается до тех пор, пока не будут выполнены те же условия, что и в методе простой итерации.

Надо заметить, что  метод Зейделя сходится к точному  решению быстрее, чем метод простой итерации. Также решения, полученные обоими методами схожи по значению с небольшими различиями:

Таблица 6.   Объемы валовой продукции
X1	452,7085
X2	317,1277
X3	314,6932
X4	262,0411

 

Данные получены с  помощью программного обеспечения для решения МОБ в VisualBasic 6.0

 

 

 

 

На графике 1 показана зависимость количества итераций от точности решения и применяемого метода.

График 1. Исследование числа итераций метод простой итерации -метод Зейделя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Часть 2. Сводный межотраслевой  баланс в натуральном и стоимостном  выражениях.

 

При рассмотрении межотраслевого баланса с использованием натуральных единиц измерения мы приходим к натуральному межотраслевому балансу. Он имеет следующий вид:

Xj=Σxij + Zi, j = l,n;

Xi=Σxij + Yi, i=l,n;

xij=aij*Xj, i,j=1,n

Найдем производственно-эксплуатационные нужды отраслей при заданных прямых материальных затратах и объемах валовой продукции.

 

a11x1+ a12x2 + a13x3+a14x4

a21x1+ a22x2 + a23x3+a24x4

a31x1+ a32x2 + a33x3+a34x4

a41x1+ a42x2 + a43x3+a44x4

 

31,69	31,71	0,00	39,31
13,58	9,51	12,59	31,44
67,91	15,86	12,59	18,34
45,27	22,20	31,47	13,10

 

0.07*452,708+0,10*317,127+0.00*314,693+0.15*262,041

0.03*452,708+0.03*317,127+0.04*314,693+0.12*262,041

0.15*452,708+0.05*317,127+0.04*314,693+0.07*262,041

0.10*452,708+0.07*317,127+0.10*314,693+0.05*262,041

 

 

Натуральный межотраслевой  баланс.

отрасли	А	Б	В	Г	Σ	Y	X
А	31,69	31,71	0,00	39,31	102,71	350	452,7085
Б	13,58	9,51	12,59	31,44	67,13	250	317,1277
В	67,91	15,86	12,59	18,34	114,69	200	314,6932
Г	45,27	22,20	31,47	13,10	112,04	150	262,0411
Σ	158,45	110,99	56,64	102,20	396,57
Z	294,26	237,85	258,05	159,85	950,00
X	452,7085	317,1277	314,6932	262,0411

 

Значения Y и Z получены с помощью основных балансовых соотношений в Microsoft Excel: ; ; и .

В сводном материальном балансе все показатели даются в  денежном или стоимостном выражении. При этом каждый продукт оценивается по единой цене независимо от того, где он используется. Это главное условие сводного материального баланса.

Для того, чтобы перейти  от натурального баланса к стоимостному умножим каждое уравнение межотраслевого баланса на соответствующую цену продукции отрасли.   

 

Получаем:

Хi*Р_i = Σаij*Хj*Рi+Yi*Рi,    i = l,n;

 

Обозначим через:

Xi = Xi * Рi -стоимостное выражение валовой продукции i-oй отрасли;

Yi = Yi * Pi - стоимостное выражение конечной продукции;

Подставим:

Xi = Σaij * Xj * (Pj/Pj) * Pi + Yi, i=l,n;

X_i=  Σaij*X_j + Y_{i ;}    i=l,n;

Коэффициенты сводного материального баланса величины ajj, равны одноименному коэффициенту натурального баланса умноженному на отношение цены затрачиваемого продукта к цене производимого продукта Это отношение называется индексом относительной ценности двух продуктов. Оно показывает во сколько раз единица затрачиваемого продукта дороже единицы производимого продукта.

 

Xi = Σxj + Zj; j=1,n.

 

При этом Zj = Zj так как натуральные единицы измерения равны стоимостным.

Найдем производственно - эксплуатационные нужды для сводного материального баланса по формуле: Xij = Xij*Pi,     i = l,n;

 

 

XllPl + X₁₂P1 + X13Pl + X₁₄P1       31,69*5 31,71*5 0,00*5  39,31*5  

X21P₂ + X22P2 + X23P2 + X24P2       13,58*15 9,51*15 12,59*15 31,44*15 X31P3 + X32P3 + X33P3 + X34P3                    67,91*5   15,86*5   12,59*5 24.28*5

X4lP4 + X42P4 + X43P4 + X44P₄          45,27*10 22,20*10 31,47*10 13,10*10

 

158,45	158,55	0	196,55
203,7	142,65	188,85	471,6
339,55	79,3	62,95	91,7
452,7	222	314,7	131

     После подсчета получаем:

 

 

 

 

 

 

Найдем стоимость валовой  продукции (Xj) по формуле: Xj = Xi*P.

452,708*   5  2263,54

317,127* 15   4756,90

 Xj = 314,693* 5   1573,46

262,041* 10   2620,41

 

Найдем стоимость конечной продукции (Yi) по формуле:Yj = Yi*Pi

 350*5   1750  

Yj = 250*15  3750

200*5   1000

150*10  1500

 

На основе выше найденных  данных таблица свободного материального баланса будет иметь следующий вид:

Сводный межотраслевой баланс в стоимостном выражении
отрасли	А	Б	В	Г	Σ	Y	X
А	158,45	158,56	0,00	196,53	513,54	1750,00	2263,543
Б	203,72	142,71	188,82	471,67	1006,92	3750,00	4756,916
В	339,53	79,28	62,94	91,71	573,47	1000,00	1573,466
Г	452,71	221,99	314,69	131,02	1120,41	1500,00	2620,411
Σ	1154,41	602,54	566,45	890,94	3214,34
Z	1109,14	4154,37	1007,02	1729,47	7999,998
X	2263,543	4756,916	1573,466	2620,411

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Часть 3. Вычисление коэффициентов полных материальных затрат.

 

Коэффициенты bij - элементы матрицы В и могут быть определены через коэффициенты прямых материальных затрат (аij), т.к.

 

В = [Е_n-А]‾ ¹

 

Для определения матрицы  В обозначим [Еn - А] = С, тогда С*В = Еn

Значит, по правилам умножения (строка на столбец) матриц, получим:

 i=l,n; k=l,n;

Получаем n систем уравнений, в каждом из которых п уравнений. Первая система позволяет найти компоненты первого столбца матрицы В, вторая - второго и т.д.

Найдем элементы матрицы  С для заданных условий:

[Е-А] = С

 

0.07 0.10 0.00 0.15    0,93   0,1     0 -0.15

A =  0.03 0.03 0.04 0.12          C = -0,03 0,97 -0.04 -0.12

0.15 0.05 0.04 0.07   -0,15 -0.05 0.96 -0.07

0.10 0.07 0.10 0.05   -0,10 -0.07 -0.10 0.95

 

 

Т.к. В = [Е_n-А]‾ ¹ и [Еn - А] = С, значит В = С‾¹. Запишем:

 

 

	1,1042	0,1290	0,0254	0,1925
B =	0,0592	1,0506	0,0590	0,1464
	0,1858	0,0821	1,0573	0,1176
	0,1402	0,0996	0,1183	1,0961