Экономико- математические методы и модели

 

Федеральное агентство по образованию

Новосибирский государственный  университет экономики и управления – «НИНХ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра: Экономико-математических методов и прогнозирования

Учебная дисциплина: Экономико- математические методы и модели

Номер варианта контрольной работы: 1263

Номер группы: ФКП 022

Наименование специальности: финансы и кредит

Ф.И.О. студента: Соболева Ирина  Александровна

Номер зачетной книжки: 061510

Дата регистрации представительством: «___»__________2011г

Дата регистрации институтом: «___»__________2011г

Дата регистрации кафедрой: «___»__________2011г

Проверил:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2011г

 

Задача №1.

Для изготовления продукции  двух видов А и Б предприятие  расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу  выпускаемой продукции, запасах  расходуемых ресурсов, имеющихся  в распоряжении предприятия, и выручки  от реализации продукции приведены  в таблице:

Наименование   ресурсов	Нормы затрат  ресурсов		Имеющийся объем ресурсов
	Продукция А	Продукция Б
Сырье (кг) Оборудование (ст.час) Трудовые ресурсы (чел.час)	2 1 6	1 2 1	191 167 199
Цена реализации (руб.)	541	246

Задача предприятия заключается  в том, чтобы разработать программу  выпуска, обеспечивающую получение  максимальной выручки от реализации готовой продукции.

Требуется:

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции и записать ее в форме задачи линейного программирования.
2. Используя графический метод решения задачи линейного программирования, найти оптимальную программу выпуска продукции и максимум ожидаемой выручки.
3. Составив задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции, найти ее оптимальное решение, используя условия «дополняющей нежесткости». Дать экономическую интерпретацию этого решения.

РЕШЕНИЕ:

1.1. Построение  математической модели оптимизации  выпуска продукции

Обозначим объемы выпуска продукции вида А  и Б как переменные модели:

x₁ — объем выпуска продукции А,

x₂ — объем выпуска продукции Б.

Модель должна включать для каждого  ресурса, используемого в производстве, ресурсное ограничение вида

расход ресурса для выпуска  изделий ≤  имеющийся объем ресурса.

Затраты каждого вида ресурса для выпуска  производственной программы х = (х₁, х₂):

расход сырья = 2х₁ + х₂,

затраты времени работы оборудования  = х₁ + 2х₂,

затраты рабочего времени = 6х₁ + х₂.

Тогда ресурсные ограничения будут  следующими:

2х₁ + х₂ £ 191,

х₁ + 2х₂ £ 167,

6х₁ + х₂ £ 199.

Кроме того также должны выполняться условия  неотрицательности переменных х₁ и х₂, т.е. х₁ ³ 0, х₂ ³ 0.

Основная  цель предприятия может быть выражена так: максимизировать целевую функцию Z, т.е. Z = 541x₁ + 246x₂ ® max,

Таким образом, математическая модель оптимизации  выпуска продукции может быть записана в следующем виде: найти  неизвестные значения переменных х₁, х₂, удовлетворяющие ограничениям:

2х₁ + х₂ £ 191,

х₁ + 2х₂ £ 167,

6х₁ + х₂ £ 199.

  х₁ ³ 0, х₂ ³ 0,

и доставляющие максимальное значение целевой функции

Z = 541x₁ + 246x₂ ® max.

Построенная модель является задачей линейного программирования. Любое решение, удовлетворяющее ограничениям модели, называется допустимым. Допустимое решение, доставляющее максимальное значение целевой функции, называется оптимальным.

 

1.2. Нахождение  оптимальной производственной программы  выпуска продукции

1) Так как х₁ ³ 0 и х₂ ³ 0, то область допустимых решений будет лежать в первом квадранте системы координат. Тогда:

2х₁ + х₂ = 191,    (1)

х₁ + 2х₂ = 167,    (2)

6х₁ + х₂ = 199.     (3)

а) Уравнение первой прямой. Если х₁ = 0, то х₂ = 191, а при х₂ = 0 значение х₁ = 95,5.

б) Уравнение второй прямой. Если х₁ = 0, то х₂ = 83,5, а при х₂ = 0 значение х₁ = 167.

в) Уравнение третьей прямой. Если х₁ = 0, то х₂ = 199, а при х₂ = 0 значение х₁ = 33,17.

Рис. 1.1. Построение множества допустимых решений

Для того чтобы определить полуплоскость, точки которой удовлетворяют  неравенству, выбирается некоторая  «тестовая» точка и ее координаты подставляются в левую часть  неравенства.

Взяв  в качестве «тестовой» точку с  координатами (0, 0), убеждаемся, что она  удовлетворяет всем неравенствам модели:

2х₁ + х₂ = 2´0 + 1´0 = 0 < 191,

х₁ + 2х₂ = 1´0 + 2´0 = 0 < 167,

6х₁ + х₂ = 6´0 + 1´0 = 0 < 199.

Следовательно, все полуплоскости, соответствующие  неравенствам модели, содержат точку (0, 0).

Точки множества  допустимых решений должны удовлетворять  всем ограничениям. Следовательно, множество  допустимых решений является пересечением всех допустимых полуплоскостей и представляет собой многоугольник АВСD. Любая точка, расположенная внутри этого многоугольника или на любом отрезке его границы, является допустимым решением, т.е. удовлетворяет всем ограничениям модели.

Для нахождения оптимального решения необходимо определить направление возрастания целевой  функции Z = 541x₁ + 246x₂. Если приравнять Z к нескольким возрастающим значениям, например, 8000 и 16000, то получим уравнения прямых:

541x₁ + 246x₂ = 8000    (4)

541x₁ + 246x₂ = 16000.    (5),

причем, прямая (4) проходит через точки (0; 32,52) и (14,79; 0), прямая (5) проходит через точки (0; 65,04) и (29,57; 0).

 

 

Рис. 1.2. Нахождение точки максимума  целевой функции

На рис. 1.2 эти прямые изображены штриховыми линиями, а направление возрастания целевой  функции — двойной стрелкой.

Точка пересечения  области допустимых решений и  линии уровня, соответствующей максимально  возможному значению целевой функции, и будет точкой максимума.

На  рис. 1.2 видно, что оптимальное решение  соответствует точке С, лежащей  на пересечении прямых (2) и (3). Поэтому  ее координаты находятся как решение  системы линейных уравнений, задающих эти прямые:

х₁ +2х₂ = 167,

          6х₁ + х₂ = 199.

Решая систему, находим  , . При этом значение целевой функции .

Полученное решение  означает, что предприятию необходимо производить 21 единиц продукции А  и 73 единиц продукции Б, что позволит ему получать максимальную выручку  в размере 29319 руб.

 

1.3. Построение двойственной  задачи.

Перепишем построенную выше математическую модель оптимизации производственной программы

2х₁ + х₂ £ 191,

х₁ + 2х₂ £ 167,

6х₁ + х₂ £ 199,

х₁ ³ 0, х₂ ³ 0

                                          Z = 541x₁ + 246x₂ ® max,

и будем  считать ее прямой задачей.

Применение  правил построения двойственной задачи к задаче оптимизации производственной программы приводит к следующей  двойственной задаче:

Найти неизвестные  значения переменных u₁, u₂, u₃, удовлетворяющие ограничениям  

2u₁ + u₂ + 6u₃ ³ 541,

 u₁ + 2u₂ + u₃ ³ 246,

 u₁ ³ 0, u₂ ³ 0, u₃ ³ 0,

и доставляющие минимальное значение целевой функции

W = 191u₁ + 167u₂ + 199u₃ ® min.

 

1.4. Нахождение  оптимального решения двойственной  задачи.

Используя условия «дополняющей нежесткости» для рассматриваемой задачи

можно записать:

,    ,

,    .

,

Подставляя  в них найденные значения , , получим:

так как  ¹ 0,    то  ;

так как  ¹ 0,    то  ;

так как  191 – 2 – = 191 – 2´21 – 73 = 76 ¹ 0, то u₁ = 0.

Таким образом, получаем систему уравнений:

,

,

 u₁ = 0.

Решая данную систему, находим оптимальные значения переменных двойственной задачи:

,    ,    .

Вычислим  оптимальное значение целевой функции  двойственной задачи: , т.е. , что соответствует первой теореме двойственности.

1.5. Экономическая  интерпретация переменных и оптимального  решения двойственной задачи.

Для исследуемой  задачи оптимизации производственной программы получим:

u₁ — стоимостная оценка сырья, [руб./кг];

u₂ — стоимостная оценка времени работы оборудования, [руб./ст.-час];

u₃ — стоимостная оценка трудовых ресурсов, [руб./чел.-час];

 означает, что ни увеличение, ни уменьшение количества используемого  сырья не приведет к изменению  оптимального значения суммарной  выручки. Действительно, количество  сырья, необходимое для выпуска  оптимальных объемов продукции  составит  (кг), следовательно 191 – 115 = 76 (кг) остаются не задействованы;

 означает, что при увеличении, фонда времени работы оборудования  с 167 (ст.час) до 167+Dt₁ (ст.час.) увеличение суммарной выручки составит Dt₁=85Dt₁ (руб.), а при уменьшении фонда времени работы оборудования на Dt₁ выручка уменьшится на Dt₁=85Dt₁.

 означает, что при увеличении  трудовых ресурсов с 199 (чел.–час) до 199 + Dm₁(чел.–час) увеличение максимальной суммарной выручки составит Dm₁=76Dm₁(чел.–час), а при уменьшении трудовых ресурсов на Dm₂ выручка уменьшится на Dm₂=76Dm₂(чел.–час);

Найденные значения , , позволяют сделать следующие выводы:

• предприятию выгодно уменьшить количество используемого сырья, но не более, чем на 76 кг;
• предприятию выгодно увеличить фонд времени работы оборудования, если затраты, связанные с этим увеличением, не превышают 85 рублей за один ст.-час;
• предприятию выгодно увеличить количество трудовых ресурсов, если затраты, связанные с этим не превышают 76 рублей за один чел.час.

 

Задача №2.

Применяя  данные таблицы Задачи №1, построить  график функции предельной полезности сырья для данного предприятия.

Наименование   ресурсов	Нормы затрат  ресурсов		Имеющийся объем ресурсов
	Продукция А	Продукция Б
Сырье (кг) Оборудование (ст.час) Трудовые ресурсы (чел.час)	2 1 6	1 2 1	191 167 199
Цена реализации (руб.)	541	246

РЕШЕНИЕ:

Поставим  задачу определения функции  для всех возможных значений S Î [0, +¥).

Увеличение  объема используемого сырья никак  не влияет на оптимальное решение  задачи.

Уменьшение  объема используемого сырья до значения 115 кг, также никак не влияет на оптимальное решение задачи.

При уменьшении объема используемого сырья менее  115 кг, точка С перестает быть оптимальным решением задачи.

Таким образом, изменение количества используемого  сырья никак не влияет на изменение  максимального значения выручки, т.е. DZ = 0. Тогда

[руб./кг].

Это и  есть оптимальное значение переменной двойственной задачи.

Оптимальная оценка i-го ресурса зависит от объема этого ресурса, используемого в производстве продукции, т.е. можно считать, что есть некоторая функция от объема используемого ресурса. Так, если S — объем используемого сырья, то при S Î [115; +¥).