Математические модели движения снейкборда

Математическая  модель снейкборда

           В работе проведено исследование простейшей модели одной из модификаций скейтборда, известной как снейкборд. Уравнения движения модели представлены в форме уравнений Аппеля, что позволило провести не только численное, но и аналитическое исследование данных уравнений. Изучены различные типы движения снейкборда (движение вперед, поворот, движение «галсами»). Все полученные аналитические результаты подтверждены серией компьютерных экспериментов.

1. Описание устройства и  модели 

           Снейкборд представляет собой одну из модификаций хорошо известного скейтборда и позволяет человеку продвигаться вперед без дополнительного соприкосновения ног с землей. Первый снейкборд появился в 1989 году и с этого момента и до настоящего времени приобрел множество поклонников среди любителей экстремального катания. Вскоре после изобретения снейкборда появились и первые статьи, в которых делались попытки дать математическое описание основных принципов движения человека на снейкборде.

           Однако все эти исследования сводились, в основном, к численному изучению различных форм уравнений движения снейкборда.

 

• Общий вид снейкборда (1)

 
 
 

• Схема снейкборда (2)

 
 
 

• Инструкция по катанию (3)

 
 
 

• Модель снейкборда (4)

          Предположим, что снейкборд движется таким образом, что отсутствует боковое скольжение передней и задней платформ, т.е. проекции скоростей точек A и на оси соответствующих колесных пар равны нулю. Получаем две неголономные связи (неинтегрируемые выражения): 

  (1) 

          Если ввести скорость V центра масс снейкборда, то уравнения связей (1) можно записать в виде: 

    (2) 

          Управление снейкбордом осуществляется посредством задания подходящего закона изменения угла поворота ротора ψ и угла поворота платформ  ϕ. Будем считать эти переменные известными функциями времени, т.е.ψ=ψ(t), ϕ=ϕ(t).

2. Уравнения движения 

          Уравнения движения снейкборда запишем в форме уравнений Аппеля. 
 
 

          В данном выражении для функции  S приведены только слагаемые, зависящие от .V Соответствующее уравнение Аппеля, определяющее закон изменения V, имеет вид  Таким образом, мы получаем полную систему уравнений движения снейкборда:

    (3)

          Последнее уравнение системы определяет зависимость скорости  V от управляемых переменных ψ(t), ϕ(t). Решение данного уравнения с начальным условием V(0)=V⁰ определяется формулой: 
 

          Подставляя в данную формулу выражения для  P(t) и Q(t) и производя интегрирование, получаем: