В случае, если принимается, что доходность ценных бумаг подвергается  нескольких факторов (или только одного фактора), то первостепенное значение при анализе ценных бумаг приобретает выявление таких факторов, а также чувствительности доходностей ценных бумаг к их изменению. Таким образом, факторная модель доходности ценных бумаг — ничто иное, как формальное утверждение о существовании такой связи.

1.3. Математические способы  вычисления влияния  факторов на формирование  фондового портфеля

Однофакторные модели.

Некоторые экономисты считают, что процесс  формирования дохода по ценным бумагам может быть описан лишь одним-единственным фактором (например, они могут считать, что доходность ценных бумаг реагирует исключительно на предсказанный темп роста ВВП). Любая однофакторная модель может быть представлена в виде уравнения для любой ценной бумаги i в период времени t:

r_it = a_i + b_iF_t + e_it,                                                      (1)

где F_t – предсказанное значение фактора t, а b_i – чувствительность ценной бумаги i к этому фактору. Если бы предсказанное значение фактора равнялось нулю, то доходность этой ценной бумаги составила бы  a_i + e_it. Заметим, что  e_it – это случайная ошибка, т.е. случайная переменная с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением σ_ei. Можно считать, что она определяется «вращением колеса рулетки».

Ожидаемая доходность.

Согласно  однофакторной модели ожидаемая  доходность ценной бумаги i может быть записана в виде:

                                                          _              _

r_i = a_i + b_iF,                                                    (2)

где F обозначает ожидаемое значение фактора.

Дисперсия.

Также можно показать, что дисперсия  любой ценной бумаги i равняется:

σ²_i  = b²_iσ²_F + σ²_ei,                                                (3)

где σ²_F – дисперсия фактора F, а  σ²_ei – дисперсия случайной ошибки.

Ковариация.

В однофакторной  модели можно показать, что ковариация любых двух ценных бумаг i в j равняется:

σ_ij = b_ib_jσ²_F.                                                    (4)

Предположения.

Существуют  два существенных предположения, на которых основываются уравнения (3) и (4). Во-первых, это предположение о том, что корреляция фактора со случайной ошибкой отсутствуют, а значит величина первого совершенно не влияет на второе.

Во-вторых, предполагается, что согласованность  в изменениях случайных ошибок любых двух ценных бумаг также равна нулю. Это значит, что величина случайной ошибки данной ценной бумаги абсолютно не влияет на величину случайной ошибки любой иной ценной бумаги. Если выразиться иначе: доходности двух ценных бумаг будут меняться согласованно (т.е. будут коррелированы) только в том случае, если будет присутствовать общая для них зависимость от изменения фактора. Когда же хотя бы одно из вышеприведенных предположений не выполняется, модель является только приближенной и более точной тогда может послужить иная факторная модель (скорее всего, с большим количеством факторов).

Рыночная  модель.

Как уже  говорилось ранее, рыночная модель может  послужить конкретным  примером однофакторной модели. В этом случае  фактором будет выступать доходность по рыночному индексу. Такая модель может быть записана нижеследующим образом:

r_i = α_iI + β_iIr_I + ε_iI,                                                        (5)

где r_i – доходность ценной бумаги i за данный период;

r_I – доходность на рыночный индекс I за этот же период;

α_iI – коэффициент смещения;

β_iI – коэффициент наклона;

ε_iI – случайная погрешность.

При сравнении  общего вида однофакторной модели (1) и уравнения рыночной модели (5), легко  обнаружить их сходство. Ведь значение нулевого фактора в обобщенной однофакторной модели (1) аналогично смещению из уравнения (5), а чувствительность в уравнении (1) соответствует здесь коэффициенту наклона.  Каждое из этих уравнений — и факторной модели, и рыночной модели — включает случайную ошибку. Наконец, доходность по рыночному индексу играет роль единственного фактора.

Однако, как отмечено ранее, идея однофакторной  модели не ограничивает инвестора использованием только рыночного индекса в качестве фактора. Инвесторы вправе использовать иные факторы, к примеру, объем промышленной продукции или же предсказанный уровень валового внутреннего продукта.

Многофакторные  модели.

Можно сделать уверенное предположение, что на доходности ценных бумаг в  большинстве случаев большое  влияние имеют ожидания в изменениях будущего состояния экономики, ведь состояние экономики затрагивает большинство фирм. Но, так как экономика не монолитна, можно выделить несколько основных факторов, которые оказывают самое большое влияние на все ее сферы:

1. темпы прироста валового внутреннего продукта;
2. уровень процентных ставок;
3. уровень инфляции;
4. уровень цен на нефть.

Тут мы сразу можем выявить главное  различие между одно- и многофакторными  моделями: многофакторная модель учитывает  не один фактор, а совокупность из вышеприведенных, отчего становится более точной. 

В качестве специального типа такой модели служит отраслевая факторная модель (аналог у однофакторной модели — рыночная модель, рассматривался ранее). Основной идеей отраслевой факторной модели является то, что если ценные бумаги относятся к одной отрасли, часто их курсы меняются сходным образом в ответ на изменения перспектив этого сектора. Это и учитывается теми инвесторами, которые в своей деятельности пользуются отраслевой факторной моделью. Чтобы построить такую модель, каждую из рассматриваемых ценных бумаг необходимо отнести к определенному сектору экономики.

Для случая k факторов многофакторная модель может быть записана в следующем виде:

r_it = a_i + b_i1F_1t + b_i2F_2t + … + b_ikF_kt + e_it,                                 (6)

где каждая ценная бумага характеризуется k чувствительностями, по одной на каждый из k факторов.

Уравнение (6) может содержать как факторы, так и сектор-факторы. Напрмер, F₁ и F₂ могут обозначать ВВП и инфляцию, тогда как F₃ и F₄ могут представлять собой доходности промышленных и непромышленных акций соответственно. Следовательно, акции каждого типа имели бы три чувствительности: b_i1,  b_i2, b_i3 для промышленных и b_i1,  b_i2 и b_i4 для непромышленных акций.

Диверсификация.

1. Диверсификация приводит к усреднению факторного риска.
2. Диверсификация может существенно уменьшить нефакторный риск.
3. Для хорошо диверсифицированного портфеля нефакторный риск будет незначительным.

И в  однофакторной, и в многофакторной модели чувствительность портфеля к  конкретному фактору является взвешенным средним чувствительностей ценных бумаг, причем веса равны долям, в которых средства инвестированы в ценные бумаги. Это можно увидеть, если вспомнить, что доходность портфеля равна взвешенной средней доходностей составляющих его ценных бумаг:

r_pt = ∑^*X_ir_it,                                                      (7)

*при  этом i находится в интервале от 1 до N.

Подстановка правой части уравнения (6) вместо r_it в правой части уравнения (7) дает:

r_pt = ∑^*X_i( a_i + b_i1F_1t + b_i2F_2t + … + b_ikF_kt + e_it) =

= [ ∑^*X_ia_i ] + [ ∑^*X_i b_i1F_1t ] + [ ∑^*X_ib_i2F_2t ] + […] + [ ∑^*X_i b_ikF_kt ] + [ ∑^*X_ie_it ] =

= a_p + b_p1F_1t +  b_p2F_2t + … +  b_pkF_kt + e_pt,                              (8)

где

a_p = ∑^*X_ia_i ;

b_p1 = ∑^*X_i b_i1 ;

b_p2 = ∑^*X_ib_i2 ;

b_pk =  ∑^*X_i b_ik ;

e_pt = ∑^*X_ie_it .

Заметим, что чувствительность портфеля b_p1, b_p2, … и b_pk являются взвешенными средними соответствующих индивидуальных чувствительностей b_i1, b_i2, … и b_ik.

2. Факторы формирования  фондового портфеля  ЗАО «МАКС»

2.1. Характеристика ЗАО  «МАКС»

ЗАО «МАКС»  -  страховая компания, являющаяся универсальным страховщиком и имеющая большой опыт работы на рынке страховых услуг. ЗАО «МАКС» работает как с физическими, так и с юридическими лицами. При этом клиентская база компании достаточно обширна и разнообразна, а бренд «МАКС» представлен во всех регионах РФ. Основные виды услуг -  это:

• страхование имущества предприятий;
• ОСАГО;
• страхование средств наземного транспорта;
• добровольное медицинское страхование.

      ЗАО «МАКС» в полной мере удовлетворяет  потребности клиентов, о чем и говорит общее число застрахованных, равное 26,4 млн. человек.

      Опыт  страхования:

1. Добровольное медицинское страхование - с 1992 года.
2. Добровольное имущественное страхование – с 1992 года.
3. Добровольное страхование от несчастных случаев и болезней - с 1994 года.
4. Обязательное страхование от несчастных случаев и болезней - с 1994 года.
5. Страхование гражданской ответственности - с 1994 года.
6. Автострахование - с 1995 года.
7. Добровольное страхование грузов - с 1995 года.
8. Страхование ядерных рисков - с 1995 года.
9. Страхование строительномонтажных рисков - с 1995 года.

ЗАО «МАКС» имеет руководителей, обладающих высокой  деловой репутацией в страховой  сфере и в страховом сообществе. Благодаря своемуруководству, компания всегда исполняет нормативы и требования государственных органов в сфере качества и структуры активов, а также собственных средств и страховых резервов, принимаемых в покрытие. При этом за 2010 год объем страховых сборов составил 81 млрд. рублей, что  выше аналогичного показателя за 2009 год на 7 млрд. рублей (то есть ЗАО «МАКС» имеет тенденцию к увеличению количества заключаемых сделок).

По последним  данным (состояние на 31 декабря 2010 года) суммарная величина активов страховой  группы «МАКС» достигла  18,9 млрд. руб. при этом из них доля высоколиквидных активов равна 9,71 млрд. руб.

Также стоит отметить, что сумма сформированных страховых резервов составила 16,32 млрд. руб. Величина собственного капитала равна 2,56 млрд. руб. В формировании уставного  капитала не участвуют иностранные инвестиции, при этом он составляет 1,73 млрд. руб.

Теперь  рассмотрим показатели, характеризующие  основную деятельность ЗАО «МАКС». Компания добилась высокого уровня роста  в следующих видах страхования (показатели прироста за 2010 год):

• от несчастных случаев — прирост равен 183,9 млн. руб.;
• медицинское страхование (добровольное) — 676 млн. руб.;
• личное страхование (обязательное) — 1360 млн. руб.;
• страхование гражданской ответственности (обязательное) — 375 млн. руб.;
• страхование с/х рисков — 73 млн. руб.;
• имущественное страхование автомобильного транспорта — 532 млн. руб.