Теория вероятностей или Теория вероятности

Теория вероятностей или Теория вероятности.

Теория вероятностей или теория вероятности – это один из разделов Высшей Математики. Это самый интересный раздел Науки Высшая Математика Теория вероятности, которая являясь сложной  дисциплиной, имеет применение в  реальной жизни. Теория вероятностей представляет несомненную ценность для общего образования. Эта наука позволяет  не только получать знания, которые  помогают понимать закономерности окружающего  мира, но и находить практическое применение теории вероятности в повседневной жизни. Так, каждому из нас каждый день приходиться принимать множество  решений в условиях неопределенности. Однако эту неопределенность можно  «превратить» в некоторую определенность. И тогда это знание может оказать  существенную помощь при принятии решения. Изучение теории вероятностей требует  больших усилий и терпения.

Теперь же давайте перейдем к  самой теории и истории ее возникновения. Главным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово  «вероятность», синонимом которого является, например, слово «шанс» достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или  «вероятнее всего в выходные я  поеду на природу», или «это просто невероятно», или «есть шанс получить зачет автоматом». Такого рода фразы  на интуитивном уровне оценивают  вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. В  свою очередь математическая вероятность  дает некоторую числовую оценки вероятности  того, что произойдет некоторое случайное  событие.

История теории вероятностей.

Теория вероятностей оформилась в  самостоятельную науку относительно не давно, хотя история теории вероятностей началась еще в античности. Так, Лукреций, Демокрит, Кар и еще некоторые ученые древней Греции в своих рассуждениях говорили о равновероятностных исходах такого события, как возможность того, что вся материя состоит из молекул. Таким образом, понятие вероятности использовалось на интуитивном уровне, но оно не было выделено в новую категорию. Тем не менее, античные ученые заложили прекрасный фундамент для возникновения этого научного понятия. В средние века, можно сказать, и зародилась теория вероятности, когда были приняты первые попытки математического анализа, таких азартных игр как кости, орлянка, рулетка.

Первые научные работы по теории вероятностей появились в 17 веке. Когда  такие ученые как Блез Паскаль  и Пьер Ферма открыли некоторые  закономерности, которые возникают  при бросании костей. В ту же пору к данному вопросу проявлял интерес  еще один ученый Христиан Гюйгенс. Он в 1657 в своей работе ввел следующие  понятия теории вероятностей: понятие  вероятности как величины шанса  или возможности; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, которые правда не были сформулированы в явном виде.  Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения – демографию, страховое дело, оценку ошибок наблюдений.

Дальнейшее развитие теории вероятностей привело к необходимости аксиоматизации теории вероятностей и главного понятия  – вероятности. Так становление аксиоматики теории вероятностей произошло в 30 гг 20 века. Самый существенный вклад в заложение основ теории внес Космогоров А.Н.

История

Возникновение теории вероятностей как науки относят  к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально  её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно  было относиться как к некоторым  эмпирическим фактам, как к свойствам  реальных событий, и они формулировались  в наглядных представлениях. Самые  ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма  открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей[1]. Под влиянием поднятых и рассматриваемых  ими вопросов решением тех же задач  занимался и Христиан Гюйгенс. При  этом с перепиской Паскаля и Ферма  он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год)[2].

Важный  вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Форум:

Интересная  задача по теории вероятности:

Тут как-то, случайно мне попалась задача, интересная потому что сразу решить ее не смог и варианты решений тоже не нашел. Правда серьезно с математикой  я закончил давно и возможно уже  просто ничего не помню.

Суть  задачи: Предположим мы вытаскиваем из бездонного мешка шарики различного цвета, предположим, что цветов может быть только 6. Встречаются все 6 цветов с равной вероятностью. И предположим мы вытащили, по одному, 10 шариков. Для наглядности обзовем цвета цифрами, тогда последовательность будет такой: "3 3 5 6 2 4 3 1 1 1". Необходимо определить с какой вероятностью мы вытащим в следующий раз шарик с цветом номер 2(в идеале надо определить вероятность выпадания для шаров каждого цвета).

Проблема в том, на мой взгляд, что необходимо учитывать не просто кол-во выпаданий в данной выборке  каждого из цветов, но и то когда данный цвет выпал. Ведь очевидно, что вероятность выпадания в следующий раз шара с цветом 1 должна быть несколько меньше чем шара с цветом 3, хотя в выборке они встречаются одинаковое кол-во раз.

Решение как-то крутится вокруг да около, но найти подходящий вариант я пока не смог. Может, кто подскажет? Заранее всем спасибо.

История возникновения теории вероятностей

  Французский дворянин, некий господин де Мере, был азартным игроком в кости и страстно хотел разбогатеть. Он затратил много времени, чтобы открыть тайну игры в кости. Он выдумывал различные варианты игры, предполагая, что таким образом приобретет крупное состояние. Так, например, он предлагал бросать одну кость по очереди 4 раза и убеждал партнера, что по крайней мере один раз выпадет при этом шестерка. Если за 4 броска шестерка не выходила, то выигрывал противник.

 В те времена еще не  существовала отрасль математики, которую сегодня мы называем  теорией вероятностей, а поэтому,  чтобы убедиться, верны ли его  предположения, господин Мере  обратился к своему знакомому,  известному математику и философу  Б. Паскалю с просьбой, чтобы  он изучил  два знаменитых вопроса,  первый из которых он попытался решить сам. Вопросы были такие :

Сколько раз надо бросать две  игральные кости, чтобы случаев  выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?

Как справедливо разделить поставленные на кон двумя игроками деньги, если они по каким-то причинам прекратили игру преждевременно?

  Паскаль не только сам заинтересовался этим, но и написал письмо известному математику П. Ферма, чем спровоцировал его заняться общими законами игры в кости и вероятностью выигрыша.

 Таким образом, азарт и  жажда разбогатеть дали толчок  возникновению новой чрезвычайно  существенной математической дисциплины: теории вероятностей. В разработке  ее основ принимали участие  математики такого масштаба, как  Паскаль и Ферма, Гюйгенс (1629—1695), который написал тракта «О  расчетах при азартных играх», Яков Бернулли (1654—1705), Муавр (1667—1754), Лаплас (1749— 1827), Гаусс (1777—1855) и  Пуассон (1781—1840). В наше время  теория вероятности используется  почти во всех отраслях знаний: в статистике, синоптике (прогноз  погоды), биологии, экономике, технологии, строительстве и т. д.

ИСТОРИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

  Теория вероятностей — сравнительно молодая ветвь математики. Ее развитие как самостоятельной науки началось с переписки Паскаля и Ферма в 1654 году, хотя значительно раньше этих ученых многие математики занимались задачами, относящимися к азартным играм. Так, например, Лука Пачиоли (1445 — 1514) в своей книге «Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni e Proortiona1ita» рассматривал одну задачу о вероятностях, но пришел к ошибочному решению. Однако уже Кардано (1501 — 1576) и Галилей (1564 — 1642) правильно решали специальные теоретико-вероятностные задачи.

 Понятие вероятности восходит  к древним временам; оно было  известно уже античным философам  (вспомним, что во втором письме  приведена цитата из Платона). Мысль о том, что законы природы  проявляются через множество  случайных событий, впервые возникла  у древнегреческих материалистов.  Ее подробное изложение дано  в поэме Лукреция Кара «О  природе вещей», важнейшие отрывки  из которой цитируются в беседе  Паскаля и Митона (и в примечаниях), приводимой в четвертом письме. В развитии теории вероятностей  весьма большую роль играли  задачи, связанные с азартными  играми, в первую очередь с  игрой в кости. Уже в древности  игра в кости была популярна  и любима.

 В 1658 году появилась книга  Христиана Гюйгенса (1629 — 1695) «О  расчетах в азартных играх» («De ratiociniis in ludo aleae»), в которой давалось  подробное изложение вопросов, рассмотренных  Ферма и Паскалем (автор явно  опирался на переписку этих  двух ученых), но, кроме того, им  было выдвинуто и много аналогичных  вопросов. С работой Гюйгенса  непосредственно связана основная  работа Якоба Бернулли (1654 — 1705) «Искусство догадок» («Ars conjectandi»), которая  была опубликована лишь после  его смерти в 1713 году. В первой  части своего труда Бернулли  воспроизводит и комментирует  книгу Гюйгенса, приводит полные  решения тех вопросов, которые  Гюйгенс поставил, но не решил.  Однако важнейшей частью книги  является четвертая, в которой  изложен закон больших чисел.  Произведение Монморта (1678 — 1719) «Опыт анализа азартных игр» («Essai d'analyse sur les jeux de hazard»), написанное несколько  позже, чем «Искусство догадок»  Бернулли, появилось раньше (в 1708 году). Оно также опирается на  книгу Гюйгенса и тем самым  косвенно связано с перепиской  Паскаля и Ферма. То же можно  сказать и относительно важнейшей  работы Абрахама де Муавра (1667 — 1754) «Об измерении случайности,  или о вероятностях результатов  в азартных играх» («De Мепзига  mortis seu de Probabilitate Eventuum in Ludis, а Casu Fortuito Pendentibus»), которая была опубликована  в журнале Philosophical Transactions в 1711 году.

Наряду с задачами азартных игр  уже в самом начале возникновения  теории вероятностей появились задачи, связанные с составлением таблиц смертности и вопросами страхования. В Лондоне уже с 1592 года велись точные записи о смертности. На основе этих записей Джон Граунт (1620 — 1674) в 1662 году впервые составил таблицы  вероятности смерти как функции  возраста. Несколькими годами позднее  Ван Худде и Ван де Витт в  Голландии, проделав аналогичные расчеты, использовали их для вычисления пожизненной  ренты. Подробнее эти вопросы  в 1693 году были изложены Галлеем. Не доказано, но вполне естественно предположить, что уже Паскаль обратил внимание на связь теории вероятностей с закономерностями смертности и страхованием.