Шпаргалка по "Теория вероятности"

Теория Вероятности

1.Вероятность у случайного события-наз-ся мера объективной возможности появления этого события. Классическое опр-е. P(A)=m/n- вероятность случ.события. (m-число исхода, в котором может появится событие ,n-общее число исходов экспериментов,n-конечное число,все исходы равновозможные)

2.Сочетание- С_n^kтоже, что и размещение , но группы отличаются хотя бы одним элементом

С_n^k=A_n^k/P_k;С_n^k=n!/k!(n-k!)

Размещение- А_n^kколичество групп содержащих к-элементов,которые берутся из n-элементов

А_n^k=n*(n-1)…(n-(k-1)=n*(n-1)…(n-k+1)

Перестановки Р_nколичество групп из n элементов Р_n=n! факториалn!

3.Вычисление вероятностей случайных событий на основе определения.

Классическое  опр-е

P(A)=m/n- вероятность случ.события. (m-число исхода, в котором может появитсясобытиеА ,n-общее число исходов экспериментов,n-конечное число,все исходы равновозможные)

Статистическое  опр-е

P^*(A)=m/n- вероятность случ.события. (m-число исхода, в котором может появитсясобытиеА ,n-общее число исходов экспериментов, вот здесь эксперимент обязателен!!!!)

0,-теория вероятности

0≤P^*(A)≤1,P^*(A)-математическая статистика

Доказано(закон больших чисел),что при n статистическая вероятность сходится по классической вероятности.

4.Совместные события  А и В-это такие события, которые   могут и произойти одновременно в рез-те эксперимента.

Несовместные события  А и  В- те события,если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Зависимые события А и В-те события, появление одного из них изменяет  вероятность появления другого.

Независимые события А и В- это если не изменяет.

Полная группа событий- А₁,А₂,…А_n– это такие события,которые  попарно несовместные,но одно из них произойдет обязательно.

Противоположные события- А и А^- -это два события,которые составляют полную группу

5.Суммой событий А + В- под суммой событий понимается соб.С, состоящее в появлении или А или В или оба. 

Теорема сложения вероятностей событий. Если А и В несовместные события,то вероятность суммы событий= сумме вероятностей -    Р(А+В)= Р(А)+Р(В); 

6. Произведение событий А*В=Д- понимается событие Д состоящее в появлении и А и В

Теорема умножения вероятностей событий- если А и В независимые события, то вероятность произведения= произведению вероятность Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Теорема умножения вероятностей событий- если А и В зависимые события, то вероятность произведения= Р(А*В)= Р(А)*Р_{(индекс)А}(В)=Р(В)*Р_В(А)

Р_А(В)=вер-ть соб. В,при условии, что А произошло

Р_В(А)= вер-тьсоб.А,при условии, что В произошло

Условные  вероятность : Р_А(В)=Р(В/А)

Р_В(А)=Р(А/В)

7.Формула полной вероятности

Р(А+В)= Р(А)+Р(В)

А,В- несовместные события

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

А,В- независимые события

Р(А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

А,В- совместные

Р(А*В)= Р(А)*Р_А(В)=Р(В)*Р_В(А)

А,В- зависимые

В сокращенном  виде формула полной вер-ти:

= >Р(А)=Р(В₁)*Р_В1(А)+Р(В₂)*Р_В2(А)+..+..Р(Вn)*Р_Вn(А)

Формулы Байеса

Р_А(В1)= Р(В₁)*Р_В1(А)/Р(А)

Р_А(В2)= Р(В₂)*Р_В2(А)/Р(А)

Р_А(Вn)= Р(В_n)*Р_Вn(А)/Р(А)

 

 

I=1,n

8.Повторение испытаний ,формулы Бернулли,Лапласа,Пуассона

- формула Бернулли

С_n^k=n!/k!(n-k!)   0!=1, 1!=1

 

Формула Лаппласа-

 

Функция Лапласса-

 

Формула Пуассона-

p*n=λ

 

9.Интегральная теорема Лапласса

 

Интегральная      функция Лапласса

 

Ф(-Х)=-Ф(Х)

Ф(5,0)=0,499999=0,5

При х>5 считать Ф(х)=0,5

10.Дискретная с.в.- называют с.в.,которая принимает конечное или бесконечное счетное множество значений.

Закон распределения  с.в.-это всякое соответствие  между возможными значениями случайной величины и вероятностями их осуществления.

Функция распределения   :F(x)=P*(x<x)

Основные  свойства:   1)0≤F(X)≤1,2)F(X)-неубыв.функция,3)P(a<x<b)=F(b)-F(a)

11.Непрерывная – называется случайная величина которая принимает (конечное) или бесконечное несчетное множество значений (множество мощности контициум)

Функция распределения

F(x)=P(X<x)

Основные  свойства:   1)0≤F(X)≤1,2)F(X)-неубыв.функция,3)P(a<x<b)=F(b)-F(a)

F(+бесконечность)=1, F(-бесконеч-ть)=0

12. Непрерывная – называется  случайная величина которая принимает (конечное) или бесконечное несчетное множество значений (множество мощности контициум)

 

Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину, бесконечное несчетное множество значений которой - некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси.

Функция плотности f(x)=F’(x)

Основные  свойства:

1)f(x)≥0

2)P(a<x<b)=   (F(b)-F(a))

F(x)-первообразная для f(x)

3)

13.Математическое ожидание

Д.с.в.

 

Осн.св-ва МХ:

1)MC=C

2)M(CX)=C*MX

3)M(X+Y)=MX+MY

4) M(X-Y)=MX-MY

5)M*(X*Y)=MX+MY (X,Y- независимые с.в.)

6)M(X-MX)=0  =>MX-M(MX)=MX-MX=0

Дисперсия

Определение :Дх= М*(Х-МХ)²=МХ²-(МХ)²

д.с.в.либо эта²*pj=либо эта²pi- (MX)

Дисперсия характеризует  средний квадрат  отклонения от среднего. Наличие большой дисперсии всегда характеризует о неоднородности статистической выборки.

Осн.св-ва:

1.Дисперсия   постоянной  величины  равна нулю: ,в остальных случаях Дх>0

2.  Постоянный  множитель можно выносить за  знак дисперсии, возведя его  при этом в квадрат: .

3. Дисперсия  случайной величины равна разности  между математическим ожиданием  квадрата случайной величины  и квадратом ее математического  ожидания:

4. Дисперсия  алгебраической суммы конечного  числа независимых случайных   величин равна сумме их дисперсий: 

=>Д(Х-У)=ДХ+Д(-У)=ДХ+(-1)²ДУ=ДХ+ДУ

Среднее квадратическое отклонение(с.к.о.)

х=

14.Н.с.в.

Осн.св-ва МХ:

1)MC=C

2)M(CX)=C*MX

3)M(X+Y)=MX+MY

4) M(X-Y)=MX-MY

5)M*(X*Y)=MX+MY (X,Y- независимые с.в.)

6)M(X-MX)=0  =>MX-M(MX)=MX-MX=0

ДХ=либо эту²f(x)dx=-(MX)

Осн.св-ва:

1.Дисперсия   постоянной  величины  равна нулю: ,в остальных случаях Дх>0

2.  Постоянный  множитель можно выносить за  знак дисперсии, возведя его  при этом в квадрат: .

3. Дисперсия  случайной величины равна разности  между математическим ожиданием  квадрата случайной величины  и квадратом ее математического  ожидания:

4. Дисперсия  алгебраической суммы конечного  числа независимых случайных   величин равна сумме их дисперсий: 

=>Д(Х-У)=ДХ+Д(-У)=ДХ+(-1)²ДУ=ДХ+ДУ

Среднее квадратическое отклонение(с.к.о.)

ɓх=

15.Распределение Бернулли ,МХ,ДХ,сред.квадр.отклонение

Распределение Бернулли - распределение вероятностей числа появлений некоторого события  при повторных независимых испытаниях. Если при каждом испытании вероятность  появления события равна р, причём 0 ≤ p ≤ 1, то число появлений этого события при n независимых испытаниях есть случайная величина, принимающая значения k = 1, 2,.., n с вероятностями         

, где

 

Mx=np

Dx=npq

x=

 

Распределение Бернулли наилучшим образом описывает ситуации, где "испытание" имеет результат "успех" либо "неуспех", например, при бросании монеты, или при моделировании удачной или неудачной хирургической операции. Распределение Бернулли определяется следующим образом:

f(x) = p^x * (1-p)^1-x    

для x О {0,1},

где

p- вероятность того, что определенное событие (например, успех) произойдет. 16.Равномерное распределение :f(x),F(x),числовые хар-ки. f(x)= т.к.

F(x)==0,x≤a ;1,x>b

Т.к.F’(x)=f(x)

(cx+k)’=c

17.Закон нормального распределения: f(x),F(x),P(<x<Ɓ)

f(x)= *       -N(a,)

P(ȴ<x<Ɓ)= Ф()-Ф ()

F(x)=

F(x)== 1/dx

18.Закон  нормального распределения: числ.хар-ки, МХ,ДХ,ɓХ,правило 3ɓ

MX=^2-edx=a

MX=a

ДХ=MX²-(MX)²=-a²=1/²dx-a²=….²

ДХ=²

x==²

x=

«правило трех сигм»:

Если случайная  величина Х имеет нормальный закон  распределения с параметрами  а и , т.е. N(a;), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале ().

(с вероятностью больше, чем 0,9973).

Статистическим  аналогом  интервалом является интервал (х^—3s, х^-+3s)

Х^—среднее значение с.в.

s-выборочное среднее квадратическое отклонение

Нарушение «правила трех сигм», т.е. отклонение нормально  распределенной случайной величины Х больше, чем на (по абсолютной величине), является событием практически невозможным, так как его вероятность весьма мала.

Математическая Статистика

19.Определение выборочных характеристик  по сгруппированным и несгруппированным данным (х^-s²,s²несмещенное)

Выборка- это  часть генер-ой совокупности. Х₁,Х₂…Х_n- статистическая совокупность

Свойство  выборки:

1)случайность2)однородность3)репрезентативность(представительность)

Среднее значение Х^-

а)не сгруппированные данные

Х^-==

Б)сгруппированные в таб.1

Х^-==

В)сгруппированные в таб.2

Х^-==

В соответствии законом «больших чисел»(теорема Чебытышева)сред.знач.с.в.сходится по вероятности к мат.ожиданию. Х^-сх-ся по вер. МХ

Выборочная  дисперсия Sх²

А)несгруп.данные

Sх²=²= Х1²+Х2²+….+Хn²/n    -(x^-)²

Б)сгруп.данные по таб.1

Sх²= –(x^-)²

В)сгруп.данные по таб.2

Sх²= –(x^-)²

Sx²несмещ.=*Sx²

20.Статистическая ф-ияраспределения,полигон,гистограмм

Полигон относительных  частот является статистически аналогом закона распределения дискретной с.в. mi/n=pi*

х	X1	xn
р	Р1	рn

Графическим изобр.таб.2наз-ся гистограмма частот или гистограмма относительных частот. Гистограмма относительных частот явл-ся статистическим аналогом функции плотности f(x)

Стат.функция распределения F*(X)

 

F*(X)=

21.Точечные оценки параметров распределений,свойства оценок

X^—оценка параметра а

Sx²- оценка параметра ɓ²

Оценки параметров сами являются выборочными функциями,т.е.зависят  от бъема и качества выборки .

Осн.св-ва:

1)несмещенность2)эффектив-ть3)состоят-ть

1)Оценка n- называется несмещенной оценкой параметра,если М(n)=

2)Оценка n- называетсяэффектив-ой оценкой параметра,если имеет минимальную дисперсию.

3) Оценка n- называетсясостоят-ойоценкой параметра , если она сходится по вероятности

!Только Х^-(сред.знач.)является несмещ.,эффективной и состоятельной оценкой параметра а      нормального распределения.

Sx²является смещенной оценкой ɓ²для норм-го распределения.

Sx²несмещ.=*Sx²несмещ-ая      оценка дисперсии или исправ.выбороч.дисперсия.

 

точечной оценкой параметра   распределения генеральной совокупности   называется статистика  , реализации которой   используются в качестве приближённых значений этого параметра.

22. Доверительный интервал ,определение,нахождениедовер-го интервала для параметров а и нормального распределения

Доверительный интервал  называется интервал, который  с заданной вероятностью (гамма) покрывает оцениваемый параметр

- вероятность или надежность.

Р()=

)-случайный интервал,число,неслучайное,его не знаем ,= 0,9;0,95;0,99.

Дов.интервал для параметра «а»при неизвестном . Вывод полностью аналогичен но вместо нормального распределения     используется распределение стьюдента (t-распределение)

Известно ,что с.в.

 Х   -аnt(n-1)

S

n-1-число степеней свободы.

Дов.интервал имеет вид:

( Х  - ,   Х +   ,где t находится гм.таб.3

Задаем  и находим t=t(, n-1)

Дов.интервал для параметра норм.распределения

Используем  S-несмещенная оценка

При q<1

(S(1-q),S(1+q))

При q>1

(0,S(1+q))

Гм.табл.4

q=q()

23.Понятие о проверке статистических  гипотез. Основные определения,  общая схема применения статистических  критериев.

Определение. Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Различают простую и сложную  статистические гипотезы. Простая гипотеза, в отличие от сложной, полностью определяет теоретическую функцию распределения СВ.

Н₀-нулевая гипотеза

Н₁-альтернативная гипотеза

Н₀:а =а₀

Н₁:а а₀или Н₁: а>а₀ или Н₁: а<а₀

Н₀:с.в. ХN(а,)

Н1:с.в. Х имеет неизвестное рапсределение

Н₀:

Н₁:

 

Н0	Верна	неверна
принять	Прав.	Ошибка 2рода
отвергнуть	Ошибка 1 рода	Прав.

 

 

 

 

 

α=0,01

α=0,05

 α=0,001 обычно берется такое

α=0,05

иногда берется  = 0,1

Критическая область-это  область вероятность попадения в которую равна уровню значимости 

Она бывает двухсторонняя  и односторонняя.

Общая схема  применения статистических критерий :

1)берется  один или несколько рядов наблюдения  и проделываются некоторые операции  математические или логические  в соответствии  с правилами .Для различных критерий эти правила (операции)различны. В результате получает К - расчетное значение критерий.

2)с каждым  критерием  связана  некоторая   случ.величина,имеющая свое распределение; составлены таблицы по которым в зависимости от уровня значимости и объма выборки n находится К-критическое.