Решение задач по "Теории Вероятности"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 20 Июня 2012 в 00:30, задача

Описание

Пусть задана выборка
Xn = {21,2; 32,6; 44,4; 64,4; 39,5; 32,1; 31,7; 30,2; 33,5; 22,7; 21,2; 20,4; 15,7; 36,6; 48,7; 36,5; 42,8; 38,1; 35,4; 40; 34,2; 33,8; 64,5; 40,5; 40; 22; 31; 45; 36; 28} объема n=30, полученная при наблюдении за случайной величиной X (признак выборки). Заданы так же надежность γ=0,99 для построения доверительных интервалов оценок параметров распределения случайной величиной X, уровень значимости α1=0,05 для проверки статистических гипотез.

Работа состоит из  1 файл

ТерВер.doc

— 120.50 Кб (Скачать документ)

    Пусть задана выборка

                Xn = {21,2; 32,6; 44,4; 64,4; 39,5; 32,1; 31,7; 30,2; 33,5; 22,7; 21,2; 20,4; 15,7; 36,6; 48,7; 36,5; 42,8; 38,1; 35,4; 40; 34,2; 33,8; 64,5; 40,5; 40; 22; 31; 45; 36; 28} объема n=30, полученная при наблюдении за случайной величиной X (признак выборки). Заданы так же надежность γ=0,99 для построения доверительных интервалов оценок параметров распределения случайной величиной X, уровень значимости α1=0,05 для проверки статистических гипотез. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задание 1

1.1. Наблюдаемая выборка может представлять собой стаж работы по специальности сотрудников строительного предприятия.

    1. . Построим вариационный ряд выборки, исключив из нее повторяющиеся варианты xj и подсчитав их частоты nj. Получим так же и относительные частоты ωj =nj/n. Результат приведен в таблице 1, а на рис. 1 построен полигон частот для заданной выборки        Таблица 1
 
xj 15,7 20,4 21,2 22,0 22,7 28,0 30,2 31,0
nj 1 1 2 1 1 1 1 1
ωj 0,033 0,033 0,067 0,033 0,033 0,033 0,033 0,033
nj*xj 15,7 20,4 42,4 22,0 22,7 28,0 30,2 31,0
nj - Xср -34,423 -34,423 -33,423 -34,423 -34,423 -34,423 -34,423 -34,423
nj*(xj - Xср)2 388,997 225,691 404,587 180,177 161,875 55,101 27,280 19,563

 
31,7 32,1 32,6 33,5 33,8 34,2 35,4 36,0
1 1 1 1 1 1 1 1
0,033 0,033 0,033 0,033 0,033 0,033 0,033 0,033
31,7 32,1 32,6 33,5 33,8 34,2 35,4 36,0
-34,423 -34,423 -34,423 -34,423 -34,423 -34,423 -34,423 -34,423
13,861 11,042 7,969 3,698 2,634 1,496 0,001 0,333

 
36,5 36,6 38,1 39,5 40,0 40,5 42,8 44,4
1 1 1 1 2 1 1 1
0,033 0,033 0,033 0,033 0,067 0,033 0,033 0,033
36,5 36,6 38,1 39,5 80,0 40,5 42,8 44,4
-34,423 -34,423 -34,423 -34,423 -33,423 -34,423 -34,423 -34,423
1,160 1,385 7,166 16,622 41,898 25,776 54,420 80,587

 
45,0 48,7 64,4 64,5 Σ
1 1 1 1 30
0,033 0,033 0,033 0,033 1
45,0 48,7 64,4 64,5 1062,700
-34,423 -34,423 -34,423 -34,423  
91,719 176,279 839,667 845,472 3686,454

 

     

          Рис. 1  

    1.3. Подсчитаем выборочные параметры.

    Выборочное  среднее  , .

    Выборочную  дисперсию  , .

    Выборочное  среднеквадратическое отклонение , .

    Утонченную  выборочную дисперсию  .

    Выборочный  стандарт =11,275. 
 
 
 
 
 
 
 

    Задание 2

    Величины  Xср, DУТ, S случайные и являются точечными оценками математического ожидания M|X| дисперсии D|X| и среднеквадратического отклонения наблюдаемой в выборке случайной величины X.

    2.1. Предполагая, что наблюдаемая величина X имеет нормальное распределение, построим доверительные интервалы для математического ожидания a=M|X| и среднеквадратического отклонения при уровне надежности γ=0,99.

    Поскольку известно, что величина t=(Xср – a) /S имеет распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы, то решая уравнение P(|t|<t1)= γ относительно t1, можно построить симметричный интервал XВγ <a< XВγ , в котором с вероятностью γ находится математическое ожидание a. Величина εγ = tγ S/ представляет собой точность оценки. Решение tγ =t(γ, n-1) есть обращенное распределение Стьюдента, оно протабулировано и может быть найдено из таблиц, например из [1,2 приложение 3].

    В рассматриваемом примере tγ = t(0,99; 29)=2,756, εγ = 2,756*11,275/ = =5,674 и тогда доверительный интервал для математического ожидания будет 35,423-5,674<a<35,423+5,674 или 29,749<a<41,097.

    Для нахождения доверительного интервала оценки среднеквадратического отклонения σ воспользуемся тем, что величина имеет распределение «Хи» с n-1 степенью свободы. Задавшись надежностью интервальной оценки γ и решая уравнение P( |σ - S | < εγ ) = γ относительно εγ можно построить доверительный интервал. Переходя к эквивалентному уравнению , где qγγ/S , найдем его решение qγ=q(γ,n-1) из таблиц, например [1,2 приложение 4], тогда точность оценки εγ=qγ S. доверительный интервал строится таким образом:  
S-εγ<σ<S+ εγ, или S(1- qγ) < σ < S(1+ qγ) , причем если  
qγ <1, то 0< σ < S(1+ qγ).

    В нашем примере qγ  =q(0,99;29)=0,43 тогда εγ =0,43*11,275=4,848 и доверительный интервал будет следующий 11,275-4,848< σ < 11,275+4,848 или 6,427< σ <16,123

    В нем оцениваемый параметр σ находится с вероятностью γ=0,99. 

    2.2. Отметим, что построенные доверительные интервалы являются областями принятия гипотез H0={a=Xср} и H0={σ=S} при их проверке с уровнем значимости α=1-γ. Теперь проверим гипотезу о равенстве математического ожидания и дисперсии наблюдаемой случайной величины указанным в задании гипотетическим значениям σ=0,8S, a=1,2Xср.

    Проверим  сначала гипотезу о том, что истинная дисперсия наблюдаемой величины равна σ=0,8S, т.е. H0={σ =0,8*11,275=9,02}. Зададимся уровнем значимости гипотезы α1=0,05 и альтернативными гипотезами H1={σ≠9,02} или H2={σ>9,02}. Для проверки основной гипотезы воспользуемся критерием «Хи-квадрат» K=(n-1)(S/σ)2.

    Наблюдаемое значение критерия kнабл = (30-1) (11,275/9,02)2 = 45,313. Критическая область Ккр при альтернативной гипотезе Н1 двухсторонняя, а критические точки найдем из таблиц kкр.л = χ2кр (1-0,025;29) =16,047, kкр.п2кр(0,025;29)=45,722. Видим, что kнабл  не принадлежит критической области и значит, гипотеза принимается, т.е. отличие наблюдаемого значения дисперсии от гипотетического незначительны. Если в качестве альтернативной рассматривать гипотезу H2, поскольку σ<S значительно (20%),то при этом критическая область будет правосторонней, а критическую точку kкр.п2кр(0,05;29)=42,6 найдем из таблиц. Тогда наблюдаемое значение критерия kнабл = 45,313 попадает в критическую область и проверяемая гипотеза отвергается. Результат проверки гипотезы при различных альтернативах оказался разным, в итоге гипотеза отвергается.

    Проверим  теперь гипотезу о том, что истинное математическое ожидание наблюдаемой величины равна a=1,2Xср, т.е. H0={a=1,2*35,423=42,508}. Зададимся уровнем значимости гипотезы α1=0,05 и альтернативными гипотезами H1={a≠42,508} или H2={a<42,508}. Для проверки основной гипотезы воспользуемся критерием Стьюдента  
K=(Xср-a) /S.

    Наблюдаемое значение критерия kнабл=(35,423-42,508) /11,275=-3,442. Критическая область Ккр при альтернативной гипотезе Н1 двухсторонняя, а критические точки найдем из таблиц kкр.л =-Tкр(0.025;29)=-2,045,  
kкр.п =Tкр(0.025;29)=2,045. Видим, что kнабл  принадлежит критической области и значит, гипотеза отвергается, т.е. значение наблюдаемого значения от гипотетического значительны. Если в качестве альтернативной рассматривать гипотезу Н2, поскольку a>Xср  значительно (20%), то критическая область левосторонняя, а критическая точка kкр=-Tкр(0.05; 29)=-1,699, тогда наблюдаемое значение критерия kнабл =-3,442 попадает в критическую область и проверяемая гипотеза отвергается.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задание 3

    3.1. Построим гистограмму выборки  Хв как удобную форму представления выборочного распределения. Для этого разобьем наблюдаемый интервал значений в выборке на m равновеликих интервалов

    xmin=17,7; xmax=64,5; m=5; Δ= =9.76

    Количество интервалов разбиения m выбирается исходя из свойств выборки, рекомендуется использовать формулу m=1+3,2*lg(n), m=5,73 примем m=5. Граничные точки интервалов hj=[xj,xj+1], j=1,…,m и их центры xj+0,5 вычисляем по формулам следующим образом:

    xj=xmin+(j-1)*Δ;  xj+0.5=(xj+xj+1)/2.

    Подсчитав для каждого интервала частоты  попадания в него элементов выборки  nj и относительные частоты ωj =nj/n, сведем все результаты расчета наблюдаемых частот n , ωj в следующую таблицу 3 и построим гистограмму частот рис.3

hj 15,7 – 22,7 22,7 – 32,6 32,6 - 36,5 36,5 - 40,5 40,5-64,5 Σ
xj+0.5 19,2 27,65 34,55 38,5 52,5  
nj 4 7 7 5 7 30
ωj 0,133333 0,233333 0,233333 0,166667 0,233333 1

Информация о работе Решение задач по "Теории Вероятности"