Автор работы: Пользователь скрыл имя, 04 Ноября 2012 в 12:30, курсовая работа
Система приемов и правил проведения преобразований, используемая на этапе начал алгебры, имеет очень широкую область приложений: она используется в изучении всего курса математики. Однако именно в силу своей малой специфичности эта система нуждается в дополнительных преобразованиях, учитывающих особенности структуры преобразуемых выражений и свойства вновь вводимых операций и функций. Освоение соответствующих видов преобразований начинается с введения формул сокращенного умножения. Затем рассматриваются преобразования, связанные с операцией возведения в степень, с различными классами элементарных функций – показательных, степенных, логарифмических, тригонометрических. Каждый из этих типов преобразований проходит этап изучения, на котором внимание сосредоточивается на усвоении их характерных особенностей.
Введение……………………………………………………………………2
Глава 1. Тождественные преобразования и методика преподавания в школьном курсе алгебры и начала анализа……………………………………..4
§1. Формирование навыков применения конкретных видов преобразований…………………………………………………………………………….4
§2. Особенности организации системы знаний при изучении тождественных преобразований .…….………………………….………..………….5
§3. Программа по математике ……………………………………….11
Глава 2. Тождественные преобразования и вычисления показательных и логарифмических выражений……………………………...…………………13
§1. Обобщение понятия степени……………………………………..13
§2. Показательная функция…………………………………………..15
§3. Логарифмическая функция……………………………………….16
Глава 3. Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений на практике..........................................................................19
Заключение………………………………………………………………..24
Список использованной литературы…………………………………….25
Воспитательное воздействие вычислений и тождественных преобразований может быть, направлено на развитие логического мышления, если только от учащихся будут систематически требоваться обоснования вычислений и тождественных преобразований, на развитие функционального мышления, что достигается различными путями. Совершенно очевидно значение вычислений и тождественных преобразований в развитии воли, памяти, сообразительности, самоконтроля, творческой инициативы.
Запросы бытовой, производственной вычислительной практики требуют формирования у учащихся прочных, автоматизированных навыков рациональных вычислений и тождественных преобразований. Эти навыки вырабатываются в процессе любой вычислительной работы, тем не менее, необходимы специальные тренировочные упражнения в быстрых вычислениях и преобразованиях.
Так, если на уроке предполагается решение логарифмических уравнений с использованием основного логарифмического тождества , то полезно в план урока включить устные упражнения на упрощение или вычисление значений выражений: , , . Цель упражнений всегда сообщается учащимся. В ходе выполнения упражнения может возникнуть необходимость потребовать от учащихся обоснований отдельных преобразований, действий или решения всей задачи, даже если это не планировалось. Там, где возможны различные способы решения задачи, желательно всегда ставить вопросы: «Каким способом решалась задача?», «Кто решил задачу другим способом?»
Понятия тождества и тождественного преобразования, они явно вводятся в курсе алгебры VI класса. Само определение тождественных выражений не может быть практически использовано для доказательства тождественности двух выражений, и понять, что сущность тождественных преобразований состоит в применении к выражению определений и свойств тех действий, которые указаны в выражении, или в прибавлении к нему выражения, тождественно равного 0, или в умножении его на выражение, тождественно равное единице. Но, даже усвоив эти положения, учащиеся часто не понимают, почему указанные преобразования позволяют утверждать, что исходное и полученное выражение тождественны, т.е. принимают одинаковые значения при любых системах (наборах) значений переменных.
Важно так же добиться, что бы учащиеся хорошо понимали, что такие выводы тождественных преобразований, являются следствиями определений и свойств соответствующих действий.
Аппарат тождественных преобразований, накопленный в предшествующие годы, в VI классе расширяется. Это расширение начинается введением тождества, выражающего свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: , где , – целые числа.
§1. Обобщение понятия степени.
Определение: Корнем -ой степени из чиста называется такое число, -я степень которого равна .
Согласно данному определению к
Определение: Арифметическим корнем -ой степени из числа называют неотрицательное число, -я степень которого равна .
При четных функция четна. Отсюда следует, что если , то уравнение , кроме корня , имеет также корень . Если , то корень один: ; если , то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицательна.
При нечетных значениях функция возрастает на всей числовой прямой; её область значений – множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение имеет один корень при любом и, в частности, при . Этот корень для любого значения обозначают .
Для корней нечетной степени справедливо равенство . В самом деле, , т.е. число – есть корень -й степени из . Но такой корень при нечетном единственный. Следовательно, .
Замечание 1: Для любого действительного
Замечание 2: Удобно считать, что корень первой степени из числа равен . Корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а корень третьей степени называют кубическим корнем.
Напомним известные свойства арифметических корней -ой степени.
Для любого натурального , целого и любых неотрицательных целых чисел и справедливы равенства:
1.
2.
3.
4.
5. .
Степень с рациональным показателем.
Выражение определено для всех и , кроме случая при . Напомним свойства таких степеней.
Для любых чисел , и любых целых чисел и справедливы равенства:
Отметим так же, что если , то при и при .
Определение: Степенью числа с рациональным показателем , где – целое число, а – натуральное , называется число .
Итак, по определению .
При сформулированном определении степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница заключается в том, что свойства верны только для положительных оснований).
§2. Показательная функция.
Определение: Функция, заданная формулой (где , ), называется показательной функцией с основанием .
Сформулируем основные свойства показательной функции.
График функции (рис. 1)
Рис. 1
Эти формулы называют основными свойствами степеней.
Можно так же заметить, что функция непрерывна на множестве действительных чисел.
§3. Логарифмическая функция.
Определение: Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести основание . Что бы получить число .
Формулу (где , и ) называют основным логарифмическим тождеством.
При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:
При любом ( ) и любых положительных и выполнены равенства:
1.
2.
3.
4.
5. для любого действительного .
Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Например, часто используется формула перехода от одного основания логарифма к другому: .
Пусть – положительное число, не равное 1.
Определение: Функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием .
Перечислим основные свойства логарифмической функции.
1. Область определения
логарифмической функции –
2. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при ) или убывает (при ).
График функции (рис. 2)
Рис. 2
Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой (рис. 3).
Рис. 3
Задание 1.
Вычислите:
1.1) ;
1.2) ;
1.3) ;
1.4) ;
1.5) .
Решение:
1.1) ;
1.2) ;
1.3) ;
1.4)
;
1.5)
.
Ответ: ; ; ; ; .
Задание 2.
Упростите выражения:
2.1) ;
2.2) ;
2.3) .
Решение:
2.1) ;
2.2)
;
2.3)
Ответ: ; ; .
Задание 3.
Найдите значение выражения:
3.1) ;
3.2) ;
3.3) ;
3.4) .
Решение:
3.1) ;
3.2) ;
3.3) ;
3.4)
.
Ответ: ; ; ; .
Задание 4.
Прологарифмируйте по основанию выражение:
4.1) при ;
4.2) при , , .
Решение:
4.1)
;
4.2)
.
Ответ: ; .
Задание 5.
Найдите , если:
5.1) ;
5.2) .
Решение:
5.1)
;
5.2)
.
Ответ: ; .
Задание 6.
Известно, что . Найти .
Решение:
.
Ответ: .
Задание 7.
Решите уравнения:
7.1) ;
7.2) ;
7.3) .
Решение:
7.1)
;
7.2)
, так как , то , получаем, что ;
7.3)
.
Ответ: , ; ; , .
Информация о работе Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений