Преобразование логарифмических выражений

 

 

Муниципальное бюджетное общеобразовательное  учреждение “Удомельская гимназия №3 имени О. Г. Макарова”

 

“Преобразование логарифмических выражений”

                  

  Подготовила:

                                                  Ученицы 10 класса “A”

Ломаковой Анастасии

                            Проверила:

                                     Рыбакова Анна Михайловна.

                    

                    

 

                      Удомля 2012

 

Содержание

стр. 2 Введение.

 

стр. 3 Свойства логарифмов.

 

стр. 6  Примеры преобразования логарифмических выражений

 

стр.10  Заключение

 

стр.11  Список используемой литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Тема Логарифмы изучаемая  в школьном курсе является одной  из самых сложных. Поэтому я решила подготовить реферат на эту тему и рассказать о способах преобразования логарифмических выражений. Вычисления и тождественные преобразований представляет важную проблему обучения математике. Эта проблема решается еще далеко не удовлетворительно. Доказательство этому – статистические данные органов народного образования, в которых ежегодно констатируются ошибки и нерациональные приемы вычислений и преобразований, допускаемые учащимися 10 классов при выполнении контрольных работ. Это подтверждается и отзывами высших учебных заведений о качестве математических знаний и навыков абитуриентов. Нельзя не согласиться с выводами органов народного образования и вузов о том, что недостаточно высокий уровень культуры вычислений и тождественных преобразований в средней школе является следствием формализма в знаниях учащихся, отрыва теории от практики. Я хочу попробовать систематизировать теоретические знания о логарифмах  и практические приемы решения задач различного уровня по преобразованию логарифмических выражений. Эта проблема является очень важной на мой взгляд. Потому что данные знания необходимы для успешной сдачи экзамена по математике в 11 классе и поступления в хороший вуз.

Определение логарифма и его  свойства.

 

Определение: Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести основание . Что бы получить число .

Формулу (где , и ) называют основным логарифмическим тождеством.

При работе с логарифмами  применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной  функции:

При любом ( ) и любых положительных и выполнены равенства:

1. log_c a + log_c b = log_c (ab) (a > 0, b > 0, c > 0, c ¹ 1).

 

2. logc a - logc b = logc

a b

 

(a > 0, b > 0, c > 0, c ¹ 1).

 

        3. log_c a^b = blog_c a (a > 0, c > 0, c ¹ 1).

4.  logcb a =

1   b

logc a

 

(a > 0, c > 0, c ¹ 1)

 

 

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Например, часто используется формула перехода от одного основания логарифма к  другому:

 

  .

 

 

 

Укажем еще  несколько формул, совершенно очевидных  для хорошо занимающихся учащихся:

1. log_a a = 1

(a > 0, a ¹ 1).

2. log_a 1 = 0

(a > 0, a ¹ 1).

3. log_a a^b = b

(a > 0, a ¹ 1).

 

 

Ещё несколько формул для  более сложных логарифмических  выражений:

       1. a^log_c ^b = b^log_c ^a

       (a > 0, b > 0, c > 0, c ¹ 1)

2.

logc b    logc a

=

logd b   logda

 

 
(a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, a ¹ 1, c ¹ 1, d ¹ 1).

 

3. log_c b ·log_d a = log_c a ·log_d b

 (a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, c ¹ 1, d ¹ 1).

+ =

        ( a > 0, b > 0, c > 0, b¹ 1, a ¹ 1).

     5.

         (a > 0, b > 0, b¹ 1, a ¹ 1).

Замечание:

1. – десятичный логарифм.
2. – натуральный логарифм.

 

Примеры преобразования логарифмических выражений:

№1 *Вычислить:

 

log224-log26=log2

24   6

=log24=2

 

Ответ: 2

№2* Вычислить:

 

log432+log414-log47=log4

32·14   7

=log464=3.

 

Ответ: 3

№3* Вычислить:

(1-log₄36)(1-log₉36) =(1-log₄4-log₄9)·(1-log₉4-log₉9) =-log₄9·(-log₉4)=1.                                       Ответ: 1.

 

№4** Вычислить:

 Ответ: 1.

 

 

 

 

№5**Прологарифмируйте по основанию выражение: при ;

 

Ответ:

№6** Найдите значение выражения log₇₀320, если log₅7=a, log₇2=b.

Решение:

Преобразуем выражение. Перейдем к основанию 7:

 

log70320=

log7320   log770

=

log75+log764   log77+log75+log72

=

log75+6log72   1+log75+log27

 

 

Из условия следует, что  

log75=

1   a

 

 

 

 

Ответ:

 

 

№7** Найти значение выражения:

 

 

Решение. Преобразуем числитель: log₆42·log₇42

 

=(1+log₆7)(1+log₇6)=1+log₆7+log₇6+log₆7·log₇6.

 

Но    log₆7·log₇6=1.

 

Следовательно, числитель равен 2+log₆7+log₇6, а дробь равна 1.

Ответ: 1.

№ 8*** Найти значение выражения :

 

 

Решение. Преобразуем первое слагаемое:

1   1+log211+log213

=

1   log22+log2143

=

1   log2286

=log2862

 

Аналогично, второе слагаемое равно log₂₈₆11. Третье слагаемое равно log₂₈₆13. Искомая сумма равна 1.

Ответ:  1.

 

 

 

 

 

№9*** Сравните сумму  
 
и произведение        

 

log₇3·log₁₁7·log₃11.

Решение. Преобразуем сумму:

 

 

=log2313+log2317+log23111=log231(3·7·11)=log231231=1

 

 Преобразуем произведение:  

log73·log117·log311 =

log117·log311   log37

=log117·log711=1

 
.

 

Ответ: данные числа равны.

 

 

№10***  Известно, что . Найти       .

Решение:

.

Ответ: .

 

 

Заключение

  В данном реферате по теме “Преобразование логарифмических выражений” мною был рассмотрен материал изучаемый в школьном курсе алгебры и начала анализа. Я систематизировала теоретические знания о логарифмах  и практические приемы решения задач различного уровня по преобразованию логарифмических выражений в своем реферате. В работе были приведены задания, разные по сложности и по содержанию, с использованием тождественных преобразований. Данные задания могут быть использованы для проведения контрольных или самостоятельных работ проверки знаний учащихся по данной теме.

 С поставленной задачей я справилась, а значит могу считать свою работу выполненной.

 

Примечание:

* -- низкий уровень;

** -- средний уровень;

***-- высокий уровень

 

Список использованной литературы:

1. Алгебра и начала анализа. Под ред. Колмогорова А.Н.           

  М.: Просвещение, 1991г.

2. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 5–11 кл. М.: Дрофа, 2002г.
3. И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике (решение задач). Уч. пособие для 11 кл.                   М.: Просвещение, 1991г.
4. Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания математики в средней школе. М.: Просвещение, 1985г.
5. Журнал "Математика в школе".