Логарифмические уравнения

Введение 

     Логарифмы были придуманы для ускорения  и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.

     В те далекие времена, когда мудрецы  впервые стали задумываться о  равенствах содержащих неизвестные  величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также  горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

     Дошедшие  до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

     Однако  первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

 

     Логарифмические уравнения и неравенства 

     1. Логарифмические  уравнения 

     Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

     Простейшим  логарифмическим уравнением является уравнение вида  

     log_a x = b.  (1) 

     Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

     Пример 1. Решить уравнения:  

     a) log₂ x = 3, b) log₃ x = -1, c)  

     Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2³ или x = 8; b) x = 3^-1 или x = ¹/₃; c) или x = 1.

     Приведем  основные свойства логарифма.

     Р1. Основное логарифмическое тождество:  

       

     где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

     Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:  

     log_a N₁·N₂ = log_a N₁ + log_a N₂ (a > 0, a ≠ 1, N₁ > 0, N₂ > 0).

 

     Замечание. Если N₁·N₂ > 0, тогда свойство P2 примет вид  

     log_a N₁·N₂ = log_a |N₁| + log_a |N₂| (a > 0, a ≠ 1, N₁·N₂ > 0).  

     Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя  

       (a > 0, a ≠ 1, N₁ > 0, N₂ > 0).  

     Замечание. Если , (что равносильно N₁N₂ > 0) тогда свойство P3 примет вид  

       (a > 0, a ≠ 1, N₁N₂ > 0).  

     P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:  

     log_a N ^k = k log_a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).  

     Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то  

     log_a N ^2s = 2s log_a |N| (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).  

     P5. Формула перехода к другому основанию:  

       (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

 

     в частности, если N = b, получим  

        (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1).  (2) 

     Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства  

        (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),  (3)

        (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),  (4)

        (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),  (5) 

     и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место  

        (b > 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1).  (6) 

     Перечислим  и основные свойства логарифмической функции f(x) = log_a x:

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x₁ < x₂ log_a x₁ < log_a x₂), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x₁ < x₂ log_a x₁ > log_a x₂).
4. log_a 1 = 0 и log_a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).
5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x Î (0;1) и отрицательна при x (1;+∞).
6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.

     Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

     Утверждение 2. Уравнение log_a f(x) = log_a g(x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)  

 

     Утверждение 3. Уравнение log_h(x) f(x) = log_h(x) g(x) равносильно одной из систем  

 

     Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения  

     f(x) = g(x) и log_a f(x) = log_a g(x)  

     или  

     log_a [f(x)·g(x)] = b и log_a f(x) + log_a g(x) = b

 

     вообще  говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

     Следовательно, при решении логарифмических  уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.  

     2. Использование определения логарифма 

     Пример 1. Решить уравнения  

 

     Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, log_ab = c, b = a^c и, следовательно,  

     5 + 3log₂(x - 3) = 2³  

     или  

     3log₂(x - 3) = 8 - 5, log₂(x - 3) = 1.  

     Опять используя определение, получим  

     x - 3 = 2¹, x = 5.

 

     Проверка  полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:  

     log₂(5 + 3log₂(5 - 3)) = log₂(5 + 3log₂2) = log₂(5 + 3) = log₂8 = 3.  

     Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

     b) Аналогично примеру a), получим уравнение  

       

     откуда  следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

     c) Аналогично примеру a), получим уравнение  

     (x - 2)² = 9.  

     Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение  x² - 4x - 5 = 0 с решениями x₁ = -1 и x₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

     d) Используя определение логарифма,  получим уравнение  

     (2x² - 8x + 15) = (2x + 1)²  

     или, после элементарных преобразований,