Логарифмические уравнения

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Декабря 2010 в 20:19, реферат

Описание

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет.

Скачать (91.92 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Работа состоит из  1 файл

Логарифмические уравнения.doc

— 447.50 Кб (Скачать документ)

     x2 + 6x-7 = 0,

     откуда  x1 = -7 и x2 = 1. После проверки остается x = 1.

 

    3. Использование свойств логарифма  

     Пример 3. Решить уравнения  

a) log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),
b) log4(x2 - 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2
c) log2x + log3x = 1
 
 
 

     Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x Î (0;+¥) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)  

x > 0,
x+3 > 0,
x+24 > 0.
 

     Используя свойство P2 и утверждение 1, получим  

log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24) Û
 
     
log3x(x + 3) = log3(x + 24),
x > 0,
 
  Û
Û x(x + 3) = x + 24,
x > 0,
 
     
Û x2 + 2x - 24 = 0,
x > 0,
 
     
Û x1 = -6,
x2 = 4,
  x > 0,
 
 Û x = 4.
 

 

     b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения  

       

     откуда, используя определение логарифма, получим  

       

     или  

     x2 - 4x + 1 = 1/2(x2 - 6x + 5),  

     откуда  получаем уравнение  

     x2 - 2x - 3 = 0  

     с решениями x1 = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

     c) ОДЗ уравнения: x Î (0;+¥). Используя свойство P5, получим уравнение  

     

     

     log2x(1 + log32) = 1,  

     откуда  или или log2x = log63. Следовательно,  

 

     Логарифмические неравенства 

     Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании  называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

     Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств  

f(x) > g(x),
g(x) > 0.
 

     Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств  

f(x) < g(x),
f(x) > 0.
 

     Утверждение 3. Неравенство logh(x) f(x) > logh(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств  

h(x) > 1,
f(x) > g(x) > 0,
0 < h(x) < 1,
0 < f(x) < g(x).
 

 

     Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.

     Пример 1. Решить неравенства  

a) log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8);  
b)  
c)  
 

     Решение. a) Используя утверждение 1 , получим  

log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8) x2 - x ≥ x + 8,   x2 - 2x - 8 ≥ 0,  
x+8 > 0, x > -8,
 
  x ≤ -2,  
x ≥ 4,  x (-8;-2] [4;+∞).
  x > -8,  
 

     b) Основание логарифма число между  нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим  

 

     c) Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим  

       

     Запишем и, используя утверждение 2, получим  

     

 

     Показательные уравнения и неравенства

  1. Показательные уравнения

     Показательным называется уравнение, в котором  неизвестное содержится только в  показателе степени при постоянных основаниях.

     Простейшим  показательным уравнением является уравнение вида

     

     Это уравнение равносильно алгебраическому  уравнению

     

     Пример 1. Решить уравнение

      .

     Представим  правую часть уравнения в виде степени с основанием 2:

      .

     Перейдем  теперь к равносильному алгебраическому  уравнению:

     

 

     Если  после введения новой переменной показательное уравнение сводится к алгебраическому, дробно-рациональному или другому уравнению от переменной y, то сначала находят корни этого уравнения, а потом выражают x через y, используя решение простейшего показательного уравнения.

  1. Показательные неравенства
 

     Показательными  называются неравенства, в которых  неизвестное содержится в показателе степени.

     При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:

     A.1. Если a > 1, неравенство  

     a f(x) > a g(x)  

     равносильно неравенству  

     f(x) > g(x).

     Аналогично, a f(x) < a g(x) ; f(x) < g(x).  

     A.2. Если 0 < a < 1, неравенство  

     a f(x) > a g(x)  

     равносильно неравенству  

     f(x) < g(x).

     Аналогично, a f(x) < a g(x) ; f(x) > g(x).

 

     A.3. Неравенство  

[h(x)] f(x) > [h(x)] g(x) (1)
 

     равносильно совокупности систем неравенств  

h(x) > 1,
f(x) > g(x),
0 < h(x) < 1,
f(x) < g(x).
 

     Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай  

h(x) = 1,
x Î D(f); D(g),
 

     где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g).

     A.4. Если b ≥ 0, неравенство  

     af(x) < b  

     не  имеет решений (следует из свойств  показательной функции).

     A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства af(x) > b является x D(f).

     A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство  

     af(x) > b

 

     равносильно неравенству  

     f(x) > logab.

     Аналогично, a f(x) < b ; f(x) < logab.  

     A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство  

     a f(x) > b  

Информация о работе Логарифмические уравнения