Условные  вероятности события D если имела место одна из гипотез будут:

     

     

     По  формуле Бейеса вычислим условную вероятность  с учетом появления события Р:

     

       

Задача  № 3 

     Найти вероятность того, что в п независимых  испытаниях событие появится: а) ровно  k раз; б) не менее k раз; в) не более k раз; г) хотя бы один раз, если в каждом испытании вероятность появления этого события равна р (см. исходные данные в таблице).

 

     Решение:

     Так как число испытаний невелико, то для вычисления искомой вероятности  воспользуемся формулой Бернулли:

      , где

     

     число сочетаний из п элементов по k, q=1-p. В рассматриваемом случае: 

     а) вероятность появления события  ровно 4 раза в 5 испытаниях:

       

     б) вероятность появления события  не менее 4 раз в 5 испытаниях:

       

     в) вероятность появления события  не более 4 раз в 5 испытаниях:

       

     г) вероятность появления события  хотя бы один раз в 5 испытаниях:

     

Задача  № 4

 

     Дана  плотность распределения f(x) случайной величины Х. Найти параметр а, функцию распределения случайной величины, математическое ожидание М[Х], дисперсию D[X], вероятность выполнения неравенства х₁<x< x₂, построить график функции распределения F(x).

       

     Решение:

     Для определения параметра а воспользуемся основным свойством плотности распределения:

      , так как при  плотность распределения равна нулю, то интеграл примет вид: или , откуда

      ;

     Функция распределения связана с функцией плотности соотношением:

     

     Откуда  получим:

     Математическое  ожидание и дисперсию определим по формулам:

     

     

     Вероятность выполнения неравенства          <x<        определим по формуле: Р(       <x<       )= F(       ) – F(       )=

Задача  №5

 

     Найти вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины, если известны ее математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение (см. исходные данные в таблице).

 

     Решение:

     Для определения искомой вероятности  воспользуемся формулой:

     

     Здесь - функция Ломпаса, значения которой определяются по таблице. Учитывая, что функция Ф(х) нечетная, получим:

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                 

Библиографический список

 
     

1. Сборник нормативных  документов. Математика [Текст] / сост. Э.Д.Днепров, А.Г. Аркадьев. – М.: Дрофа, 2006. – 80 с.
2. Концепция развития школьного математического образования [Текст] // Математика в школе. – 1990. – № 1. – С. 2 – 14.
3. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]:  учебник для вузов / Н.Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 543 с.
4. Курс высшей математики для гуманитарных специальностей [Текст]: учебное пособие / под ред. Ю.Д.Максимова. – СПб.: Специальная литература, 1999. – 191 с.
5. Воронов,М.В. Математика для студентов гуманитарных факультетов [Текст] / М.В. Воронов, Г.П. Мещерякова. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2002. – 384 с.
6. Солодовников, А.С. Теория вероятностей [Текст] / А.С. Солодовников. – М.: Просвещение, 1978. – 192 с.
7. Баврин, И.И. Курс высшей математики [Текст] / И.И. Баврин. – М.: Просвещение, 1992. – 400 с.
8. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие / В.Е. Гмурман. – М.: Высшее образование, 2006. – 479 с.
9. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст]: учебное пособие / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1999. – 400 с.
10. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 2001. – 575 с.
11. Калинина, В. Н. Математическая статистика [Текст]: учебник для студ. сред. спец. учеб. заведений / В.Н. Калинина, В.Ф. Панкин. – М.: Дрофа, 2002. – 336 с.
12. Виленкин Н. Я. Комбинаторика [Текст] / Н. Я. Виленкин А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. – М.: ФИМА, МЦНМО, 2006. – 400 с.
13. Китайгородский, А.И. Невероятно – не факт [Текст] / А.И.Китайгородский. – М.: Молодая гвардия, 1972. – 256 с.
14. Хургин, Я.И. Как объять необъятное [Текст] / Я.И. Хургин. – М.: Знание, 1992. – 192 с.
15. Виленкин, Н. Я. Популярная комбинаторика [Текст] / Н.Я. Виленкин. – М.: Наука, 1975. – 208 с.
16. Глеман, М. Вероятность в играх и развлечениях. Элементы теории вероятностей в курсе сред. школы [Текст]: пособие для учителя / М. Глеман, Т. Варга; пер. с фр. – М.: Просвещение, 1979. – 176 с.
17. Шихова, А. П. Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе [Текст] / А. П. Шихова. – Киров: ИУУ, 1994 – 63 с.
18. Афанасьев, В.В. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8-11 классов [Текст] / В.В.Афанасьев, М.А.Суворова. – Ярославль: Академия развития, 2006. – 192 с.
19. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике. Общие положения, структура портфолио, программы курсов, сценарии занятий [Текст] / И.Н.Данкова, Т.Е.Бондаренко, Л.Л. Емелина, О.К. Плетнева. – М.: 5 за знания, 2006. – 128 с.
20. Бунимович, Е.А. Вероятность и статистика. 5-9 кл. [Текст]: пособие для общеобразоват. учеб. заведений / Е.А. Бунимович, В.А. Булычев. – М.: Дрофа, 2002. – 160 с.
21. Сборник задач по математике для факультативных занятий в 9-10 классах [Текст] / под ред. З. А. Скопеца. – М.: Просвещение, 1971. – 208 с.