Линейная аллгебра, математический анализ, теория вероятностей

 
 
 

     Задание 1. Найти общее решение дифференциального уравнения. 

1.  

Решение.   Линейное уравнение 3-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое  уравнение

 

Его корни 

Частные решения  однородного уравнения:   ,

  ,       .

Общее решение  однородного уравнения 

                         _.

Найдём частное  решение неоднородного  уравнения. Права часть относится к правой части 1-ого вида и так как число 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде .    Найдём

, ,

.

Подставим в  уравнение

.

Отсюда получим  

Составим систему

Нашли частное  решение 

Общее решение  неоднородного уравнения равно  сумме    и :

    Ответ  

Решение.   Линейное уравнение 3-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое  уравнение

 

Его корни:

Частные решения  однородного уравнения:   ,      ,       .

Общее решение  однородного уравнения 

                         _.

Найдём частное  решение неоднородного  уравнения. Правая часть   относится к виду  

                 

     и получается из нее  при  .  Так как число  равно корням

        характеристического уравнения,  то ищем в виде  

                              .

Найдём       , ,   .

Подставим в  уравнение

.

Отсюда получим  

Составим систему

Нашли частное  решение 

Общее решение  неоднородного уравнения равно  сумме    и :

    Ответ

Решение.   Линейное уравнение 3-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое  уравнение

 

Его корни:

Частные решения  однородного уравнения:   ,      ,       .

Общее решение  однородного уравнения 

                         _.

Найдём частное  решение неоднородного  уравнения. Правая часть   относится к виду  

                 

     и получается из нее  при  .  Так как число  равно корню

        характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде .    Найдём

, ,

.

Подставим в  уравнение

.

Составим систему

Нашли частное  решение 

Общее решение  неоднородного уравнения равно  сумме    и :

    Ответ  

Решение.   Линейное уравнение 4-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое  уравнение

Его корни  и ,  кратности 3, частные решения примут вид

    ,  ,  

Общее решение  однородного  уравнения 

Найдём частное  решение неоднородного  уравнения. Правая часть   относится к виду  

                 

     и получается из нее  при  .  Так как число  равно корню

        характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде . Найдём      ,

  ,    ,   .

Подставим в  уравнение

.

Составим систему

Нашли частное  решение 

Общее решение  неоднородного уравнения равно  сумме    и :

    Ответ  

Решение.   Линейное уравнение 4-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое  уравнение

Его корни  и ,  кратности 3, частные решения примут вид

    ,  ,    

Общее решение  однородного  уравнения 

Найдём частное  решение неоднородного  уравнения. Правая часть   относится к виду  

                 

     и получается из нее  при  .  Так как число  равно корням

        характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде  

                              .

Найдём       , ,   ,   

.

Подставим в  уравнение

Составим систему

Нашли частное  решение 

Общее решение  неоднородного уравнения равно  сумме    и :

    Ответ

Решение.   Линейное уравнение 4-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое  уравнение

Его корни  и ,  частные решения примут вид

    ,  ,  

Общее решение  однородного  уравнения 

Найдём частное  решение неоднородного  уравнения. Правая часть   относится к виду  

                 

     и получается из нее  при  .  Так как число  равно корням

        характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде .    Найдём

, ,

,       

Подставим в  уравнение

Составим систему

Нашли частное  решение 

Общее решение  неоднородного уравнения равно  сумме    и :

    Ответ  
 

Решение.   Линейное уравнение 4-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое  уравнение

Его корни  и ,  частные решения примут вид

    ,  ,  

Общее решение  однородного  уравнения 

Найдём частное  решение неоднородного  уравнения. Правая часть   относится к виду  

                 

     и получается из нее  при  .  Так как число  равно корням

        характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде .    Найдём

, ,

,       

Подставим в  уравнение

Составим систему

Нашли частное  решение 

Общее решение  неоднородного уравнения равно  сумме    и :

    Ответ  

Решение.   Линейное уравнение 5-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое  уравнение

Его корни  и ,  кратности 4, частные решения примут вид

    ,  ,   ,   .

Общее решение  однородного  уравнения 

Найдём частное  решение неоднородного  уравнения. Правая часть   относится к виду  

                 

     и получается из нее  при  .  Так как число  равно корням

        характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде  

                              .

Найдём       ,    ,   ,      ,

Подставим в  уравнение

Составим систему

Нашли частное  решение 

Общее решение  неоднородного уравнения равно  сумме    и :

    Ответ  

9.  

Решение.   Линейное уравнение 4-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое  уравнение

Его корни  и ,  кратности 3, частные решения примут вид

    ,  ,    

Общее решение  однородного  уравнения 

Найдём частное  решение неоднородного  уравнения. Правая часть   относится к виду  

                 

     и получается из нее  при  .  Так как число  равно корням

        характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде  

                              .

Найдём       ,      ,   ,       .

Подставим в  уравнение

Составим систему

Нашли частное  решение 

Общее решение  неоднородного уравнения равно  сумме    и :

    Ответ  

10.