В локальных точках   поля можно задать в виде: 

Если мы требуем, a_i⁺ = 1, то e_i полностью определен.

 Определим подпространства 

М ₊ подпространство векторных полей, которые также голоморфны в точке

 P _+. M_- является подпространством векторных полей, которые также голоморфны в точке Р.

  Если v является векторным полем мероморфным, голоморфным вне , то  всегда можем достичь путем вычитания элементов из M _- , что полюс в Р ₊ порядка 3g- 3, не вводя новых полюсов в P_- . Таким же образом можем вычесть исходя из элементов M ₊ для достижения дополнительно, что полюс в Р _- порядка  3g- 3.Теперь  можем вычесть элементы из M⁰ и удалить полюса в P ₊ и по-прежнему получаем, что полюс Р_- порядка 3g- 3. Результат: w равна нулю. Если мы предположим, что w не равно нулю, то можно положить n равно порядку полюса в P_- (помним, что у векторных полей должны быть полюса). Следовательно, w соответствует  

Поскольку у  этого нет никакого полюса в P ₊, это не кратное число  e_n –g₀+1. Это несоответствие, если . С этим аргументом мы показали, что v есть линейная комбинация e_i.

     Предложение. Базис  векторных полей, голоморфных вне точек P ₊

и P_ может быть дан вышеупомянутыми e_i , где i є Z, для g , i є Z +½. В этом базисе скобка Ли имеет вид: 

где сумма по целым числам для четного g и по половине целых чисел для нечетного g.

     Доказательство. Единственно осталось показать правило для коммутатора. Знаем векторное поле, данное скобкой Ли, может снова быть разложена в этих e_i. Найти его коэффициенты, мы должны вычислить его порядки полюсов нули относительно точки P ₊. Мы начинаем с P ₊ , e_i и е_j даны в локальных координатах как выше. Прямым вычисление видим 

Порядок нуля этого векторного поля является ≥ (i + j - g₀) - g₀+ 1. Следовательно, только  е_r, где г≥(i + j - g₀), участвуют в саписи. В точке Р _- получим результат 

Порядок полюса в Р_- <(i+j +g₀) +g₀ - 1. Следовательно, только e_r с r  ≤(i +j+g_o) участвуют в записи. Этими двумя фактами утверждение доказано.

     В нашем доказательстве даже в состоянии  дать точную формулу для коэффициентов  в экстремальных случаях. 

Эта алгебра  называется алгеброй Кричевера- Новикова. Это не Z-градуированная  алгебраа, но это "обобщенная градуировка". Более точно, это G_o-градуированная. ( определением g_o-градуированных является формула выше предложения.)

  Очевидно, М ₊ и М_- являются подалгебрами. Мы имеем разложение 

M₀ - конечной размерности подпространства. Если мы считаем число iє J с

[il <g₀ – 1, то видим, что его размерность составляет 3 g - 3. Фактически, можно показать, что это подпространство может быть идентифицировано с аналитическими деформациями кривой Г.

   Список литературы:

1. Dick R. Holomorphic differentials on punctures Riemann Surfaces.Differer.Geom. Meth. Theor. Phys: Phys and  Geom. ,Proc. NATO AdvRes. Workshop .1990, 475-483. (18 Int. Conf. Davis, Calif. 1988 June, N. – Y.)
2. Dick R. Krichever – Novikov – like Bases on Punctured Riemann Surfaces, Notkestrosse 85, 2 Hamburg 52. Deutsolus Elektron – synchrotron (DESY) 89-059, May 1989, 11 c.
3. Schlichenmaier M. An Introduction to Riemann Surfaces, Algebraic Curves and Moduli Spaces,1989 , pp 109-114.
4. Lecture Notes in Physics, № 322, Springer – Verlag, Berlin.