|λ- 1)(g-1)| > g.  Для простоты предполагаем, что все α^j > 0 в определении k. Тогда начальная точка на Х это Р₁ и скалярное произведение сводится к вычетам произведения в точке Р₁ . Как и раньше ω будет –дифференциалом, а v будет   –дифференциалом. Тогда, с подходящей нормализацией, ω₂(β)  и v₂(-1-β), β может служить как отправная точка для построения ортонормированного базиса, а эта отправная точка будет точный оригинал Кричевера- Новикова базиса  на дважды проколотой поверхности, который был ортогональный с самого начала. Теперь  В_λ(Y)  ортонормализирован через

Ω₂(β)=ω₂(β) , V₂(β)=v₂(-1-β)/<ω₂(β), v₂(-1-β)>,

Ω_j (β)=ω_j (β) –

V_j(β) = 

Тогда есть единственное разложение  любого мероморфического –дифференциала Т на Х, который будет голоморфен на Y, в виде: 

Так как это совместимо с анализом начальных значений задачи, уравнения подобно этому будем называть равным времени разложением в физике.

     Поскольку T мероморфен, сумма по γ остановится после конечного числа шагов. Однако, наш опыт с гармоническим анализом  показывает, что вышеупомянутое уравнение удовлетворяется поточечно на Y, или в смысле среднего, или в смысле распределения также для подходящего класса голоморфных λ-дифференциалов на Y с существенными особенностями в некоторых из проколов.

     Если, в случае λ = 2, T интерпретируется как  классический энергетический тензор импульса (момента), в виде L_j(γ)=<T, V_j(γ)>, то это сводится для N = 2 и g = 0 к известной Вирасоро алгебре .

1.4. Алгебра Вирасоро для N> 2.

     Это известно, что алгебра Вирасоро без центрального расширения алгебра Vec(S ¹ ) векторных полей на окружности. Из работ Кричевера и Новикова, мы изучим, что это появляется в теории струн как алгебра Ли с базисом мероморфных векторных полей на S², которые являются голоморфными на дважды проколотой сфере, и как это может быть обобщено к дважды проколотой  риманой поверхности произвольного рода. Результирующая  алгебра Ли с базисом мероморфных векторных полей, голоморфных вне двух проколов, была тогда проанализирована качественно вычислениями около проколов. Наконец, структурные  коэффициенты должны быть вычислены явно по формулы раздела 1.2.

     По  техническим причинам сконцентрируемся здесь на случае сферы с N проколами. Это интересно в его собственном случае, но только как аппроксимация к глобальному формализму, описанному здесь, но также и ввиду локального формализма, который играет роль , рассматривающий единственный путь на Y, который содержит все проколы.

Поскольку это  не является более сложным, давайте  рассматривать с начала действие на модуле из λ-дифференциалов:

L_γω=λωδ_zv^z+v^zδ_zω

Здесь и в  следующих уравнениях, v будет вектором.

     Будем  использовать карты U_j вокруг проколов, так что z_j(P_j)=0, z₁(P_j)=c_j для j ≥2, и в областях наложения z₁=c_j/(1+c_jz_j) единственные λ-дифференциалы раздела 1.2 будут в этих координатах иметь следующий вид:

ω[-2λ-

и действие на базисе мероморфных векторных полей на сфере, которые являются голоморфны вне N проколов, на соответствующем базисе λ-дифференциалов, будет явно в виде: 

  при j k,  β<0, γ<0: 
 

при k 2, β≥0: 

при j 2, γ≥0: 
 

Если  часть последних уравнений должны анализироваться далее согласно j> 2, n ≥0:

ω_j(n)=

Рассмотрения  на другие представления этой алгебры и ее роли в конформной теории поля, на проколотых поверхностях остается для будущей работы.

   Изучение проколотых поверхностей Римана предлагает следующие три пути:

1. Концептуально самый ясный, но возможно также наиболее трудный, путь мог бы начаться от "явных" формул раздела 1.2, рассматривающего сначала поверхности римана произвольного рода.
2. Другой подход использовал бы локальный формализм, уже упомянутый и, по-видимому, приведет к интенсивному исследованию алгебры Вирасоро на N-проколотой сфере.

Подобным образом, голоморфные λ-диференциалы  на сферах с N проколами, могли бы быть обсуждены как динамические степени свободы, и как корреляционные функции, в структуре "шьющего подхода" к более высокому роду струнных вершин.

     Конечно, большая часть необходимой технологии была уже развита  общими усилиями многих физиков и математиков.

Глава 2. Кричевера – Новикова базис на проколотой римановой поверхности.

2.1. Введение

     Обобщение алгебры Вирасоро на Римановой поверхности высокого рода  Кричевером и Новиковым начато по приложению в формализме оператора на более высоких поверхностях о представлениях алгебры Кричевер – Новикова и соотношений в алгебрах Kacа – Mуди и алгебры Вирасоро, и о их супер симметрических расширениях . Базис из мероморфных λ-дифференциалов, введенных Кричевером и Новиковым, таким образом уже доказал свою большую роль в наших начинаниях по конформной  теории поля на более высокой Римановой поверхности и играет важную роль в развитии взаимодействующей теории струн. Первый шаг в этом направлении – можем заметить факт, что хорошая ручная конструкция Кричевера и Новикова может быть обобщена на N – кратно проколотой Римановой поверхности и не ограничивается случаем дважды проколотой поверхности.

     В разделе 2.2 мы изложим, как единственное существование некоторых голоморфных λ-дифференциалов на N – проколотых поверхностях следует из теоремы Римана – Роха и некоторых лемм, которые будут здесь установлены. Кричевер – Новиков базис  для голоморфных λ -дифференциалов на дважды проколотой поверхности будет обобщен затем на случай большего количества проколов. В разделе 2.3 соответствующее расширение алгебры Вирасоро на N – проколотой сфере исследовано в некоторых деталях.

2.2.  Голоморфные λ  -дифференциалы на N-кратных проколотых поверхностях.

     Прежде, чем приступить к  исследованию голоморфных λ – дифференциалов на проколотой Римановой поверхности, введем понятия, в котором X обозначает компактную Риманову поверхность рода g,  µ^λ(Х) является пространством мероморфных λ – дифференциалов на X, то есть ω  µ^λ(Х)  выглядит в локальных координатах

ω = f(z)dz^λ для λ≥0,

ω = f(z)(∂/∂z)^-λ для λ<0. Тогда  

 будет пространство мероморфных λ-дифференциалом, чьи дивизоры кратны дивизору D. Соответствующие множество мероморфных функций и мероморфных векторных полей как обычно обозначается 

Читатель, незнакомый с этими понятиями, может консультироваться  по книге М. Шлихенмаера .

     Чтобы получить информацию о , нам нужны три основные средства: 1) сначала будет теорема Римана – Роха , которую пишем в виде наиболее подходящей для дальнейших приложений: 

Второе средство - лемма: 

где γ≥0 является некоторым целым числом и P может  быть любой точкой в X, которая отвечает следующему требованию: если {ω_j ,1≤ j ≤ d = } некоторый базис , то вронксиан 

не должен обращаться в нуль в P.

Это условие, конечно, исключает только конечное множество точек потому что иначе из-за компактности X и теоремы единственности W была бы тождественный нуль.

     Для доказательства леммы мы отмечаем, что  
     для  

будет влечь существование нетождественного λ – дифференциала 

Но это противоречит W≠0. Следовательно, для 

размерность Ω^λ _–D-γP (X) должна уменьшиться с до 0. Для γ→γ+1 размерность может уменьшиться только на самое большее на единицу. Чтобы показать это предполагают, что ω и различные элементы

 
 тривиально влечет  существование некоторой линейной комбинации ω и содержащейся в . Это заканчивает доказательство леммы. В случае N = 2, не использовалась  лемма для мероморфных дифференциалов.

     Третье  средство, в котором мы нуждаемся, является таблица 1, которая является известным следствием теоремы Римана – Роха и , если 2λ(g-1)-deg D < 0. 

Таблица 1. Размерностей пространств голоморфных дифференциалов.

     Следовательно, ограничим внимание на дивизоре D, который  удовлетворяет следующим требованиям:

Если D (P) > 0, то P должен удовлетворить условиям леммы относительно , и если D (P) <0, то условия должны выполняться относительно .

     Используя таблицу 1 по другим приложениям теоремы  Римана – Роха и леммы, возможно построить таблицу 2: 
 

        B) λ=0 или g=1 

        C) λ=1 

Таблица 2. Размерностей пространств мероморфных дифференциалов.

     Доказательства этих результатов будут очевидны, но длинными вычислениями по таблице 1, сначала для двух точек Р с ненулевыми  D(P),  а затем для произвольного конечного числа N проколов по переходу от N до N+1. Основной шаг есть вычисления прямо из леммы для D(P) > 0 и по теореме Римана – Роха для  

     Для D=γP таблица 2 выражает Вейштрассовы пробелы для точки Р.

Применяя эти результаты можно построить Кричевера — Новикова базис для мероморфных λ — дифференциалов  на X, с голоморфными вне N фиксированных точек. Соответствующие дивизоры запишем символическим способом как 

Если | (2λ-l) (g-1) | > g, то λ — дифференциалы  ω голоморфные вне P_j , которые удовлетворяют условию 

существует и являются единственно определенными, с точностью до умножения на константу, по множеству целых чисел

Это следует  из таблицы 2 подстановкой D (P_j ) =: 

Будем обозначать такие λ — дифференциалы через 

Тогда базис  для всех мероморфных λ – дифференциалов, голоморфных вне проколов  X \{P₁ ,…P_N}, дается множеством 

Для  доказательства этого утверждения сначала заметим, что есть линейная независимость дифференциалов из этого множества. Кроме того  

для D’>D.  Следовательно, достаточно  доказать  для достаточно малых D, что будет порожден дифференциалами из этих множеств. Для окончания рассмотрим дивизор 

с β_j <0 и m

Соответствующее (m+l) – мерное пространство, содержит множество  

Это завершает  рассмотрение случая | (2λ-l)(g-1) |> g.

     Работа  в других случаях требует большей осторожности:

 Для λ=0 или  g = 1 мероморфные функции f, которые являются, голоморфными вне точек P_j , будут с точностью до умножения на  константу, единственно определятся по своим порядкам в P_j , если  
 

Для N> 2 часть этих функций дает некоторое базисное множество:

{f[- g - γ₂ , γ₂ ,0,…0], γ₂  <- g или γ₂ >0} U

U {f [-g-l- γ₂, γ₂, l,0,...0], -g ≤ γ₂ <0} U {f [0... 0] }U

U { U

U {

Доказательство  этого утверждения подобно прежнему. Для N = 2 Кричевера – Новикова базис спускает части, соответствующих для j> 2.

Мероморфный 1-диференциал µ, голоморфный  вне точек , будет единственно определятся по своим порядкам в , если: 

или 

или 

Это дает некоторый  базис мероморфных 1- дифференциала, голоморфных на X\{P₁,…P_N} для N> 2:

{µ[ g-2 - γ₂ , γ₂ ,0,…0], γ₂  <- 1 или γ₂ ≥ g} U

U {µ [g-l- γ₂, γ₂, 0,...0], 0≤ γ₂ <g} U {µ [-1,-1,g,0... 0] }U

U { U

U {

     Доказательство  снова проводится подобно  случаю | (2λ-1) (g-l) | > g. Базис для дважды проколотой поверхности [2] будет получаться упущением частей, связанных с P_j для j> 2. В работах [1,2] абелевы дифференциалы третьего рода с полюсом порядков -1 будут единственно определятся не по требованию g-кратности нулю, но по условию на чисто мнимые периоды по всем циклам C: 
 

Схематично как  эти понятия интегрируются временем τ на римановой поверхности: 

Этот эволюционный параметр  имеет свойства τ(P ₁ )= - ∞, τ(P ₂ )=  ∞, если будет выбрано положительное [1]. Это поддерживает  интерпретацию дважды проколотых поверхностей как собственную энергию графов  и можно обобщить это понятие на N – кратно проколотые  поверхности. Для достижения этого множества проколов в соответствии с S_j = {Р_j, 1 ≤ j ≤ I} и S_f = { Р_j, I ≤ j ≤ N }. Кроме того введем некоторые сокращения:

µ₀ (γ)= µ [g-1-γ,γ,0,0…0] для 0 ≤ γ < g,