v₂ =µ[-1,-1,g,0,…0],

v_j = µ[-1,g,0,…0,-1,0,..0] для 2 < j ≤ N,

где не голоморфные  дифференциалы нормированы, имеют  вычеты 1 в P₁ . Тогда, рассматривают дифференциал 

где коэффициенты С_γ снова определены из требования 

для любого цикла C. Вычеты будут следующего вида:  
 

Таким образом, параметр развития 

удовлетворяет

2.3. Расширенная алгебра  Вирасоро на N- проколотой сфере.

     Как уже заметили у мероморфных векторных полей на X есть естественное действие на λ-диффреренциалы. Если ω некоторый λ-диффреренциал и v вектор, производная Ли в локальных координатах выражается в виде 

Если ω также  вектор это является скобкой Ли. Основное внимание снова ограничено на λ-диффреренциалы и вектора, которые являются голоморфные на Х \{Р₁... Р_N}. Подобно для N=2 алгебра базисных векторов скобка Ли  построена в секции II, может быть названа алгеброй Кричевера – Новикова. Свойствами производного пространства Ли λ-диффреренциалов голоморфных  на Х \{Р₁... Р_N} задаются модули для этой алгебры.

     Чтобы рассмотреть действие на модулях  более подробно, полезно сократить  базисные дифференциалы раздела 2.2.

Для |(2λ-1)(g-1)|>g: 

Если λ =-1, ω иногда заменяет v. Для λ=0  аббревиатуры дуги 

I=f[0,..0]

Для λ=1: 
 

После этого перехода некоторая информация о структуре алгебры Кричевера –Новикова получена от порядков полюсов.

Это удобно выполнять, сначала  записывая дивизор, значения которого нижние оценки  для  полюса , например. 

введены в таблице 2 

Конечно,  это  уравнение необходимо, как математическое выражение концепции классификации. Это подразумевает утверждение  о том, что разложение производных Ли относительно до фактора независемые λ-дифференциалы может быть устроено, чтобы содержать самое большее 3g+2-δ_ij. Однако, из-за линейных зависимостей, не все уникальные λ-дифференциалы содержатся в основных наборах, построенных в разделе 2.2. Таким образом для N> 2, число базисных векторов, появляющихся в разложении , может превысить вышеупомянутый предел. Это поведение может быть иллюстрировано простым примером: голоморфных векторные поля на 3- проколотой сфере: локальные координаты z_j вокруг проколов P_j связаны в областях наложения через  

Уникальные векторы  находятся в локальных координатах  

и основание  обеспечено набором векторов  

 Замена, уступает  например. 

Чтобы записать соответствующее расширение алгебры  Вирасоро, следует использовать разложения 
 
 
 
 
 
 

Если мы имеем тривиально 

Те же самые  формулы разложения получаются для всех голоморфных λ-дифференциалов на 3-проколотой сфере, если последовательно заменяют на

     Расширенная алгебра Вирасоро тогда имеет соотношения:  

при β<0: 

 при 0 ≤ β ≤ -γ: 

при β>-γ: 

Согласно  

подобные формулы разложения справедливы для производной Ли.

Это явное обращение  немедленно переносится на N-проколотую сферу  в координатах 

в области наложения, уникальные векторы 

Структурные константы появляющиеся в , могут быть считаны с формулы для после замены   с обеих сторон, с правой стороны , и с левой стороны.

Таким образом, алгебра базисных векторов определяется 

с и отрицательные значения β и γ. Аналогичным образом действия на произвольных голоморфных λ-дифференциалах на проколотой сфере могут быть проанализированы. Что касается высшего рода много работы еще предстоит сделать, однако из-за исследование расширений алгебры Кричевера – Новикова чисто не очень полезно для более двух проколов. Это связано с тем, что разложения коммутаторов в отношении в разделе 2.2 имеются неопределенные структурные константы, как для N = 2. Несмотря на это определение расширенной базы Кричевера – Новикова может иметь некоторую помощь в разработке внутренних взаимодействующих теорий струн, и что явные конструкции осуществляется для g = 0 могут стать полезным инструментом для дальнейшего изучения вопроса как это работает по крайней мере в "сфере приближения ".

Глава 3.  Введение в римановы поверхности, алгебраические кривые и проблемы модулей.

Как пример, мы возьмём работу Кричевера и Новикова "Алгебра Вирасора, поверхности Римана и структура теории солитонов" и покажем некоторые из основных фактов, которые использовались в этой работе.

     Один  из предметов интереса в теории струн - набор векторных полей на поверхности Римана. Мы хотим использовать голоморфные векторные поля.

     Но  давайте начнем с X = P¹ =, род 0. Голоморфные векторные поля разделы (голоморфные) связки линии тангенса Т. Эта связка двойная к связке котангенса ω, который непосредственно соответствует каноническому классу  K. Следовательно 

В случае рода 0 мы имеем 

Теорема Римана - Роха говорит 

Следовательно, у векторного пространства голоморфных векторных полей есть размерность 3. Чтобы вычислить базис, мы используем стандартное покрытие P¹ : 

Координаты  z в U₀ и ω в U ₁. Преобразование имеет вид  

Мы видим, что dz глобально определенный мероморфный дифференциал, который представлен парой мероморфных функций 

Пара перевернутых функций представляет теперь (мероморфное) векторное поле (1,-w²).

     Поскольку у функций нет никаких полюсов, это - фактически голоморфное векторное поле. Теперь легко задать умножение для линейно независимых голоморфных векторных полей:  

В локальных  координатах можно записать следующим  образом:  

Очевидно их базис H ⁰ (P ¹ ,T).

Векторное пространство векторных полей - алгебра Ли относительно скобки Ли 

В нашем случае мы вычисляем: 

Это хорошо, известная алгебра Ли. Если производим замену базиса 

то видим [H,X]=2X,   [H,Y]=-2Y,  [X,Y]=H. Это алгебра Ли

     Как следующий пример берем тор T. Теперь g(T) = 1. Кроме того, dz

дифференциал без нулей на T. Это говорит, что связка ω является тривиальной связкой O. Следовательно, связка тангенса также тривиальная.

Голоморфные векторные поля имеют вид: 

     Для римановой поверхности Г рода  g≥2, имеет T =-2g + 2. Следовательно, там не существует никакие голоморфных сечений. Чтобы получить нетривиальное векторное поле, мы должны иметь полюса.

Возьмем точки Р₊ и Р_- в «общем положении» на Г и координатах z₊  и  z_ вокруг этой точек, то есть z₊ (P ₊ ) = 0 и z _– (P _- ) = 0.

Что понимаем под "общим положением", опишем позже. Обозначаем через L^Г , пространство мероморфных векторных полей, которые являются голоморфными вне точек P ₊ и P_- . Конечно, это векторное пространство снабжено скобкой Ли, и следовательно, они образую алгебру Ли. Мы хотим показать что базис 

из этого пространства, где J - подходящий набор индексов. Ограничиваемся g ≥ 2. В случае  g = 1 мы нуждаемся в небольшой модификации базиса. Если род g – четное число, то берем J = Z, если это – нечетное число, то берем 

Видим, что Давайте возьмем тензорное произведение 

Вычисляем: 

 По теореме  Римана – Роха получаем: 

Следовательно, перестановкой М_i , там существует для каждого iєJ векторное поле, которое является голоморфным вне точек   и имеет, по крайней мере, нуль порядка (i-g₀+1) в P₊ и самый большой порядок  (i + g₀ -1) в P_-

     Конечно, нуль отрицательного случая – полюс и наоборот. Покажем это и передача (до скалярного кратного числа) уникальный мероморфный раздел  T  есть точно вышеупомянутые разнообразия. Обозначаем это поле e_i.Чтобы доказать это требование, мы должны ввести точки Вейерштрасса относительно квадратных дифференциалов (2-вейерштрассовы точки). Пусть K есть канонический дивизор, тогда 2K является дивизором для квадратных дифференциалов. Потому deg (2K) = 4g-4≥2g-1 (при g> 1). Применим теорему Риманна – Роха, которая дает . Пусть P є Г. Наша цель вычислять для n≥0, . Это число дает размерность пространства квадратных дифференциалов, имеющих нуль порядка ≥ n в P. Теперь deg (2K-nP) = 4g-4 - n. Если n ≤ 2g – 3, то степень ≥ 2 g – 1. Следовательно  

Если n≥ 4g – 3, то deg (2K-nP) <0. Следовательно .

При  2g – г3 <n <4 g – 3 размерности векторных пространств имеют снижение от g до 0.

Пусть  D – дивизор и . Тогда имеем 

Видим, что это позволяет f, h быть в , но не в ). Можем сократить дополнительный полюс в точке P на h, вычитая подходящее кратное число f. Следовательно, размерность может увеличиться только на 1.

В нашем случае это говорит, что размерность понизится самое большее на 1 в каждом шаге. Эта последовательность размерностей будет  

Следовательно, имеем  

Если (1) не верно для точки P, то мы называем P 2-вейерштрассовой точекой. Для P, чтобы быть 2-вейерштрассовой точкой  это эквивалентно, что там существует квадратный дифференциал с порядком нуля ≥3g-3 в точке P. (Классические точки Вейерштрасса связаны с 1 – дифференциалами. Там условие: это существует голоморфный  дифференциал с нулем порядка ≥ g в точке P.) Есть только конечно множество 2-вейерштрассовых точек на Г.

     Существенная  идея состоит в том, что набор  точек 2-вейерштрасса может быть дан как набор нулей голоморфных локальных функций.

Следовательно, можем всегда избегать этих точек. Так P ₊ не будут 2-вейерштрассовыми точками.

     Вычислим H⁰ (М_i).  Используем совокупное примечание делителя, понижаем Г в примечание и вместо индекса установленного у J, мы используем параметризацию -K + nP ₊ +(3g - 2 - n) P_ , где n є Z. Поскольку аргумент симметричный в P ₊ и P_- мы может ограничить n> 0. По теореме Римана – Роха получим

dimH⁰ (-K +nP ₊ + (3g - 2-n) P _- )-dimH⁰ (2K-nP ₊ - (3g- 2-n)P_-) =1.

Рассмотрим сначала случай n≥3g – 2. В (2) у нас есть dimH⁰ (2K-nP₊) = 0. Следовательно, dimH⁰ (-K + nP ₊) = n-(3g-3). В частности, dimH⁰ ( - K+(3g – 2)P ₊)  = 1. Пусть f ₁ будет образуещем этого пространства. Мы можем выбрать такой P_- , что это не нуль f ₁. Тогда f ₁  должен иметь полюс порядка (3g-2) в P ₊. Иначе f ₁  был бы в H⁰(-K + (3g-3) P ₊). Но это пространство – нуль по теореме Римана – Роха и (2). Если выбираем P_- достаточно общего, то  dimH⁰ (-K + nP₊ + (3 g - 2 - n) P _- ) = 1, и у образующего есть точно простые полюса в обоих точках. Пусть n = 3g – 1.

     Доказательство для общего случая – по существу то же самое и идет по индукции. У нас есть dimH⁰ (-K+(3g-1)P ₊)  = 2. Пусть f ₁ есть как выше и позволяют f быть вторым образующим, таким, что f ₁, f являются базисами векторного пространства. Мы можем решить уравнение af ₁ ( P_- ) + cf (P_-) = 0, где с 0. Таким образом, что f ₁ , f ₂ являются снова базисом. У f₂ есть, по крайней мере, нуль порядка 1 в P_- . Мы не хотим, чтобы у f₂ был более высокий ноль порядок. Для этого должны удостовериться, что в , выбирая P_- подходящую. Теперь f₂ принадлежит H⁰ (-K + (3 g - 1) P ₊ - P_-). У этого есть правильный нулевой порядок в P_. Если мы предполагаем, что у этого нет  полюса порядка 3g - 1 в P ₊ , то это был бы элемент из H⁰(-K + (3 g - 2) P ₊). Следовательно, это будет кратное число f ₁ в противоречии с построением.

     Рассмотрим  остальные случаи 0 <n <3g - 3. По (1) мы имеем

dim (2K-nP₊) = 3g-3 - n. Потому что P_- не 2- вейерштрассова точка получаем, что 

Теперь по теореме Риманна – Роха 

У образующего снова есть точно полюса. Если у него есть полюса в P ₊ порядка меньше чем ожидаемый, то это был бы элемент

H⁰ (-K + (n-1) P ₊ + (3g-2-n) P_- ). Но это пространство - нуль (по теореме Риманна – Роха). Аргументы за P_- - те же самые. Это заканчивает доказательство.