ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«Кемеровский  государственный университет» 

Кафедра математического анализа 
 
 
 

Комаровой Марины Владимировны

 Голоморфные дифференциалы на конечной римановой поверхности  
 
 
 
 
 
 

 

2011

Содержание

Введение 3

Глава 1. Голоморфные дифференциалы  на римановой поверхности  с проколами. 3

1.1.Введение 3

1.2. Голоморфные  λ-  дифференциалы на  проколотых римановых  поверхностях. 4

1.3. Внутреннее время  и глобальное Лорановское  разложение на  римановой поверхности. 9

1.4. Алгебра Вирасоро  для N> 2. 11

Глава 2. Кричевера –  Новикова базис на проколотой римановой  поверхности. 13

2.1. Введение 13

2.2.  Голоморфные λ  -дифференциалы на N-кратных  проколотых поверхностях. 14

2.3. Расширенная алгебра  Вирасоро на N- проколотой  сфере. 21

Глава 3.  Введение в римановы поверхности, алгебраические кривые и проблемы модулей. 26

Список литературы 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

     Голоморфные дифференциалы на римановой поверхности  нашли применения в геометрической теории функции, в аналитической  теории чисел, в уравнениях математической физики и в теоретической физики (Новиков С.П., Кричевер И.М., Дик Р., Шлихенмайер М.).

      В данной работе составлен реферат  по трем английским статьям Дика и Шлихенмайера, в которых находятся размерности и базисы в пространствах мероморфных дифференциалов на римановых поверхностях с проколами в зависимости от дивизора и его степени. Описаны связи таких дифференциалов с алгебрами Вирасоро и центральных расширений таких алгебр.

Глава 1. Голоморфные дифференциалы на римановой поверхности с проколами.

1.1.Введение

     Исследование  динамики в голоморфных или антиголоморфных λ- дифференциалов  на римановых поверхностях были начаты с замечаниями,  что эти дифференциалы входят в теорию Фаддеева -Попова как локальные сечения для грассмановых линейных расслоений. Кроме того, хорошо известно, что линейные расслоения играют важную роль в описании модулярных деформаций сложных структур.

     Как обычно в физике динамика конформных полей было анализирована многими  в терминах локальных сечений, что  влечёт локальный операторный формализм.

     Другой в высшей степени полезный подход был начат в пионерских работах Кричевера и Новикова ,  которые разрешали формализации,  глобальных операторов на дважды проколотой римановой поверхности произвольного рода.

     Кроме того локальный подход не в коем случае не устарел. Недавно,  базисы голоморфных λ- дифференциалов на  дважды проколотой поверхности представленные Кричивером и Новиковым, были обобщены на случай произвольного числа проколов. 

1.2. Голоморфные  λ-  дифференциалы на  проколотых римановых  поверхностях.

     В этой работе будем обозначать через  пространство мероморфных λ- дифференциалов  ω на компактных римановых поверхностях Х рода g c условием (ω)≥ D(P) для любых точек P X, где D – дивизор на X и λ принимает целочисленные значения.

     Размерность пространств  голоморфных λ-диференциалов выведеные в таблице 1 являются известными следствиями теоремы Риманна-Роха

λ- 1)(g-1)-degD+dim и имеется изоморфизм . Так же известно, что 

Таблица 1. Размерности пространств голоморфных абелевых дифференциалов.

     Эти результаты были использованы  в  различных областях в теории струн и конформной теории поля. Кроме того, до недавнего времени такой таблице недоставало мероморфного λ-дифференциала. Пробелы  могут  быть заполнены следующим способом :     

Точка P X называется λ-общей  относительно дивизора D, если вронксиан

 из базиса   не тождественный нуль в P или   = 0.

Из-за компактности X существует только конечное множество не λ-общих точек для заданного дивизора D. Тогда имеем следующую лемму :

Пусть P есть  λ-общая точка относительно дивизора  D. Тогда для любого положительного целого числа γ выполняется :

dim

Для обращения  в нуль дивизора  не общих точек  является, конечно, λ – Вейерштрасс  точки. Доказательство - непосредственное обобщение классического доказательства.

     Дивизор D является λ-общим, только если его конечное множество точек, где дивизор не исчезает, может быть записан таким способом  

и для всех P_j .

Если D (P_j) > 0, то точка  P_j будет λ-общей относительно дивизора   

 Если D (P_j) <0, то P_j будет (1- λ)-общей относительно  

Следовательно для дивизора D будем предполагать,  что он λ-общий всюду и значения  λ определенны из контекста.

     Дополнительным  применением теоремы Римана -Роха и леммы возможно вычислить таблицу 2:

А) |λ- 1)(g-1)| > g и D будет λ-общий: 

В) или g=1 и D будет 0-общий: 

C) D будет 1-общий:

deg

таблица 2. Размерностей пространства мероморфных абелевых дифференциалов.

Доказательство  проходится  индукцией по числу N проколов, появляющих в дивизоре  D.

     Через Y=X\{P₁ ,…P_N } обозначит проколотую поверхность, ассоциированную с X и дивизором D=.

Непосредственным  следствием из таблицы 2 будут некоторые  следствия:

А) |λ- 1)(g-1)| > g:

Если D=  будет λ-общий для любой перенумерации точки и degD= , то существует, с точностью до умножения на константу, λ- дифференциал ω, который будет мероморфным на Х и голоморфным на Y, а ;

В) или g=1:

Если D=  будет 0-общий для любой перенумерации точек и degD=-g, и , или если  D – пустой, тогда существует, с точностью до умножения на константу, единственная функция f, которая будет мероморфна на  Х и голоморфна на  Y  и .

C) λ=1:

 Если  D= будет 1-общий для любой перенумерации точек и degD=g-2  и , или degD=g-2  и , или D=g-1  и , тогда существует, с точностью до умножения на постоянную,  естественный дифференциал µ, который мероморфен на X, и голоморфных на Y и .

Поскольку корректные порядки полюсов является определенными, то не трудно записать ниже представление для единственного определенного λ- дифференциала  в терминах простых форм и тета функций. Это было сделано для N=2 уже Бонора. Обобщение N≥2 требует только небольших модификаций:

Если дан дивизор   проколов D степени 0 , то относительно естественного отображения из  группы Пикара   Pic(X)  в многообразия Якоби   Jac(X). Для Х будем снова обозначать через D (без путанице в обозначении, так как D теперь обозначает одновременно дивизор и его класс эквивалентности по модулю главных дивизоров) и если будет  класс римановых дивизоров, то квазипериодический g/2-дифференциал с div()=0 можно будет построить: 

Если дивизор   удовлетворяет условию dimΩ_-E (X)=0 , будет конечно базисной точкой для отображения Якоби из дивизоров с ненулевой степени. Обычно опускают матрицу периодов в аргументе тета функции.

Для g≥2 , λ- дифференциалы упомянутые в следствии будет иметь вид общем случае: 
 

В специальном случае

, D=0 :

, D≥0: 

Показатели  в формуле выше определяется по требованию на порядки полюсов и правильное поведение преобразования, в то время как аргументы тета функции являются фиксированными по  свойствам периодичности.

В общем случае, g  нулей для  будут определены по теореме Римана: 

Хотя в случае λ=1, D≥0 теорема Римана дает для недостающие g-1 нулей: 

В особом случае g=1  все  λ- дифференциалы могут  быть построены из λ=0. Здесь разумно  использовать Вейерштрассову  функцию. Для случая 2- проколов это было получено, где центральное расширено соответствующей Кричеверу -  Новику алгебры было также сделано.

     Случай g=0  рассмотрим подробно в разделе 1.4. Если  множество проколов допускает только дивизоры, которые являются -общими, и если эти дивизоры, степени которых и порядки полюсов удовлетворяют условиям следствия, являются -общими при любом задании проколов, тогда возможно записать ниже базис Кричевер – Новикова  из голоморфных -дифференциалов на Y, которые мероморфны на X. Получим следующий результат:

А) |λ- 1)(g-1)| > g: 

B) λ=0: 

C) λ=1:

B₁ (Y)={µ₂ (β); β<-1  или  β≥g}

Простое доказательство полноты этих множеств из таблицы 2, и доказывается следующим способом: линейная  независимость легко доказывается из различия порядков полюсов. Кроме того, для E>D  и так как любой мероморфный дифференциал на Х, который голоморфен на Y, будет содержаться в   с  D выбранным достаточно малым. Для этого достаточно заменить, что  (m+1) – мерное пространство с D=[2 λ(g-1)-g-m-и

А) если  |λ- 1)(g-1)| > g, то  β_j < 0, ;

B) если λ=0, то β_j < -g , ;

C) если  λ=1, то  β_j < -1 , .

Будет  порождено  точно (m+1) дифференциалами из .

1.3. Внутреннее время  и глобальное Лорановское разложение на римановой поверхности.

     Проколотые  поверхности Римана несут естественное понятие внутреннего времени . Чтобы ввести это, удобно переключиться из

{µ₀ (β)=µ[g-1-β,β,0,..0], 0≤ β <g}  к обычным голоморфным дифференциалам, определенным через гомологический базис петель выбранный в виде:

µ₀ (β)=,    ,   .

Кроме того предположим, что все дифференциалы ν₂   =µ [-1,-1,g,0,..0] и                         ν_j   =µ [-1,g,0,..0,-1,0..0], нормализованный так что его вычет 1 в P₁.

Тогда каждый абелев дифференциал вида будет определять внутренний эволюционный параметр через , где

dτ=Re k-Re ω_i

где суммирование подразумевается от 1 до g. Если коэффициенты α^j и их суммы отличны от  0, то время τ принимает по предположению число ± в проколах. Это понятие внутреннего времени влечет,  что существует другая естественная дуальность между –дифференциалам и –дифференциалами на  Y, согласно двойственности Серра . Если S_j обозначает что множество индексов для которых τ(P_j ,P₀ )=- , j и C_τ={P; τ(P,P₀ )=τ}, то дуальное спаривание для  –дифференциалов ω и () –дифференциалов υ

<ω,v>=

     Чтобы представить глобальное Лорановско разложение на  Y для это необходим ортогональный базис раздела 1.2. Это будет рассматриваться для