ФГПОВПО      РГАТУ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа по математике

Тема:«Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                             Выполнил:  студент инженерного факультета

           Специальности  «механицация с/х»

      Курс№2

           Группа№21

      Рагозина Татьяна

                                                        Проверил:Егерева ИлонаБорисовна 
 
 
 
 

                                                        Рязань2011 

Оглавление 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.Введение

 
 

Для более  полного представления о кривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функции скалярного аргумента. 

Определение 1.  Если каждому значению независимого переменного tÎTÍR , называемого далее скалярным аргументом, поставить  в соответствие единственный вектор r(t), то r(t) называют вектор-функцией скалярного аргумента.  Вектор r(t) с началом в фиксированной точке O называют радиус-векторм.

Пусть в геометрическом (трёхмерном) пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом i, j, k. Тогда представление 

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k 

является  разложением радиус-вектора r(t) в этом базисе, причем x(t), y(t), z(t) – действительные  функции одного действительного переменного t с общей областью определения TÍR , называемые координатными функциями вектор-функции r(t).                 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.Понятие кривой

 

Введём  теперь термин «кривой». Его строге определение связано с понятием вектор-функции r(t), которую будем считать непрерывной на отрезке [a, b] . Пусть в трёхмерном пространстве R³ задана  прямоугольная декартова система координат Oxyz с ртонормированным базисом {i,  j, k}. 

Определение 2. Множество ГÌR³ точек, заданных радиус-векторм r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, tÎ[a, b]  соответствующим непрерывной на отрезке [a, b]  вектор-функции r(t) называют непрерывной кривой, или просто кривой, а аргумент t - параметром кривой. 

При фиксированном  значении t = t₀ Î [a, b]  параметра значения x(t₀), y(t₀), z(t₀)  являются координатами точки кривой. Поэтому одна и та же кривая может иметь как векторное так и координатное представление

Г = {r Î R³ : r = r(t), tÎ[a, b] },

Г = {(x; y; z) Î R³ : x = x(t), y = y(t), z = z(t), tÎ[a, b] } 

Заданную  таким образом кривую называют годографом вектор-функции r(t), поскольку именно такую кривую описывает в простарнстве конец вектора при изменении параметра t.

Кривую  можно также представить как  линию пересечения двух поверхностей с уравнениями F₁(x, y, z) = 0, F₂(x, y, z) = 0. Выбрав за параметр одну из координат, можно через него попытаться выразить из этой системы уравнений остальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать 

Г = {(x; y; z) Î R³ : x = x(t), y = y(t), z = z(t),  tÎ[c, d] }. 

Одной и той же точке кривой могут  соответствовать различные значения параметра t. Такие точки кривой называют её кратными точками. Начальной и конечной точками кривой называются точки с радиус-векторами r(a) и r(b) соответственно. Если конечная точка кривой совпадает с её начальной точкой, то кривую называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую кратных точек при tÎ(a, b)  называют простым замкнутым контуром. 

Определение 3.  Кривую, лежащую в некоторой плоскости называют плоской.

Если  эта плоскость выбрана за координатную плоскость xOy, то координатное представление плоской кривой Г имеет вид: 

Г = {(x; y; z) Î R³ : x = x(t), y = y(t), z = z(t),  tÎ[a, b] }. 

причём  равенство z=0 обычно опускают и пишут

Г = {(x; y) Î R² : x = x(t), y = y(t), tÎ[a, b] }.

.

График  непрерывной на отрезке [c, d] функции f(x) является плоской кривой с координатным представлением Г = {(x; y) Î R² : x = x, y = f(x), xÎ[c, d] }.

В этом случае роль параметра выполняет  аргумент x . Плоская кривая является годографом радиус-вектора r(t) = x(t)i + y(t)j  или r(x) = xi + f(x)j   соответсвенно. 
 

3.Кривизна плоской кривой.

а.Длина дуги иеё производная.

 

В введении были рассмотрены понятия векторной функции, опираясь на которое и было дано строгое определение кривой и её частного случая – плоской кривой. В данном пункте дадим определение длины дуги и найдём её дифференциал. 

Пусть дуга кривой M₀M  (рис. 1) есть график функции y=f(x), определённой на интервале (a ,b). Определим длину дуги кривой.

 Возьмём  на кривой АВ точки M₀, M₁, M₂, … , M_i-1, M_i…, M_n-1,  M.

Соединив  взятые точки отрезками, получим  ломаную линию M₀ M₁M₂… M_i-1 M_i…M_n-1M, вписанную в дугу M₀ M. Обозначим длину этой ломаной линии через P_n.

Длиной  дуги M₀M называется предел (обозначим его через s), к которому стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей длин отрезков ломанной M_i-1 M_i , если этот предел существует и не зависит от выбора точек ломаной M₀ M₁M₂… M_i-1 M_i…M_n-1M .

Найдём  выражение дифференциала дуги.

Пусть имеется на плоскости кривая, заданная уравнением y=f(x). Пусть M₀(x₀, y₀)- некотрая фиксированная точка кривой. Обозначим через s длину дуги M₀M (рис. 3). При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет меняться, т. е. s есть функция x. Найдём производную s по x.

Дадим x приращение Dx. Тогда дуга  s  получит приращение Ds = дл. ÈMM₁. Пусть - хорда, стягивающая эту дугу. Для того чтобы найти ,  поступим  следующим образом:                                                         

 Из  DMM₁Q находим = (Dx)² +(Dy)².       Умножим и разделим левую часть наDs²:

Разделим  все члены равенства на Dx²:

Найдём  предел левой и правой частей при Dx®0. Учитывая, что и ,  получим    

Для дифференциала дуги получим следующее выражение:

  или    

Мы получили выражение дифференциала дуги для того случая, когда кривая задана уравнением y=f(x). Но эта же формула сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрически:

              

и выражение  принимает вид: . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.Кривизна

 
 

Первая производная функции даёт нам простейшую характеристику линии y=f(x), а именно её направление. Вторая производная тесно связана с другой количественной характеристикой этой линии, с так называемой кривизной, устанавливающей меру изогнутости или искривлённости линии.

Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет определённую касательную  в каждой точке. Проведём касательные  к кривой в каких-нибудь двух её точках А и В и обозначим через a  угол, образованный этими касательными, или – точнее - угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется углом смежности. Угол смежности в некоторой степени даёт представление о степени изогнутости дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, у которой угол смежности больше (рис. 5,4).

рис. 4                     рис. 5

Полной  характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности к длине соответствующей дуги.

Определение 4.  Средней кривизной К_ср дуги ÈАВ называется отношение соответствующего угла смежности a к длине дуги:

Для одной  и той же кривой средняя кривизна её различных частей (дуг) может быть различной; так, например, для кривой (см. рис. 6)  средняя кривизна дуги АВ не равна средней кривизне дуги А₁В_{1 ,} хотя длины этих дуг равны между собой.

 Отметим,  что вблизи различных точек  кривая искривлена по-разному.  Для того чтобы охарактеризовать  степень искривлённости данной  линии в непосредственной близости  к данной точке А, введём понятие кривизны в данной точке.

Определение5. Кривизной К_а линии в данной точке А называется предел средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю:

 

а.Вычисление кривизны

Выведем формулу  для вычисления кривизны данной линии  в любой её точке M(x, y).  При этом  будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида  y=f(x)  и что функция имеет непрерывную вторую производную.

Проведём касательные  к кривой в точках  M и M₁ с абсциссами   x  и x+Dx и обозначим через j и j+Dj  углы наклона этих касательных (рис.7).