Кільце многочленів над областю цілісності

 

                                                                                     (11)

Оскільки  записи (9) і (10) – різні, то в рівності (11), принаймні, один з множників біля відмінний від нуля. Проте в такому разі рівність (11) означає, що елемент алгебраїчний над . Це суперечить умові. Отже, припущення, що для елемента є два різні записи вигляду (8), приводить до суперечності і тому воно є неправильне.

До множини  належить кожен елемент і елемент . Оскільки . Нехай

 

 

• довільно вибрані елементи множини . Вважатимемо, що . Використовуючи властивості операцій додавання і множення на комутативному кільці , знайдемо суму і добуток елементів . Дістанемо

 

де 

 

де 

Таким чином, сума і добуток будь-яких двох елементів  є елементом множини . Отже, на множині здійсненні операції додавання і множення. Довільному елементу поставимо у відповідність елемент . Цим буде задано сюр’єктивне відображення .

Оскільки  для кожного елемента існує тільки один запис вигляду (8), то відображення − бієктивне. Покажемо, що це відображення ізоморфне. Нехай і – довільно вибрані елементи кільця . Тоді

 

 

 

 

тобто

 

 

 

тобто

 

Отже, відображення − ізоморфне. Оскільки кільце ізоморфно відображається на множину , то, за теоремою (Якщо множина , на якій визначено операції додавання і множення, ізоморфна деякому кільцю, то множина є кільцем відносно заданих на ній операцій. Якщо кільце – комутативне, то і кільце також комутативне.), є підкільцем кільця .

Підкільце, як зазначалося вище, містить підкільце і елемент y. Отже, є підкільцем кільця , яке містить підкільце , елемент y і саме міститься в .

Оскільки  за умовою мінімальне підкільце, що містить і y, то =. Таким чином, і =; тому . ►

 

2.3. Вивчення многочленів від однієї змінної.

 

Продовжимо  вивчення кільця та його елементів – многочленів від змінної. Як було доведено вище (п. 1), кільце многочленів є комутативним кільцем з одиницею. Одиницею кільця є одиничний елемент кільця .

Нехай

                           (12)

 довільний многочлен із кільця . Вирази

(k =0, 1, 2, …, n) називаються членами многочлена , елемент називають коефіцієнтом члена , а число k – його степенем. Коефіцієнти членів многочлена, тобто називають коефіцієнтами многочлена.

Многочлен, всі  коефіцієнти якого дорівнюють нулю, називають нуль-многочленом. Припустимо, що многочлен відмінний від нуль-многочлена. Тоді серед його коефіцієнтів є, принаймні один, відмінний від нуля. Якщо , то член , тобто член найвищого степеня, називається старшим членом, а його коефіцієнт – старшим коефіцієнтом многочлена. Член, який не містить змінної , називається вільним членом цього многочлена. Стелінь n старшого члена називається степенем многочлена f (х). Степінь многочлена f (х) позначають символом deg f (від англійського degree - стелінь). Многочлен, в якого старшим членом є вільний член, тобто який дорівнює відмінному від нуля елементу , вважають многочленом нульового степеня. Очевидно, будь-який відмінний від нуля елемент можна розглядати як многочлен нульового степеня над. Многочлени нульового степеня називають також константами. Елемент вважатимемо константою і ототожнюватимемо його з нуль-многочленом над . Означення старшого члена і степеня многочлена незастосовні до нуль-многочлена: нуль-многочлену не приписують ніякого степеня.

Означення рівності многочленів тепер можна сформулювати так: многочлени

 

 

вважають  рівними, якщо deg f = deg g і (i =0, 1, 2, …, n).

Якщо многочлен f (х) відмінний від нуль-многочлена, то, розмістивши його члени у порядку спадання степенів х (що завжди можна зробити, оскільки операція додавання в кільці комутативна), записують цей многочлен у більш звичній формі

(.              (13)

Оскільки  для многочлена f (х) існує тільки один запис вигляду (12), то і запис його в формі (13) також буде єдиним. Зрозуміло, що при записі многочлена f (х) у вигляді (13) старшим членом цього многочлена буде член , а старшим коефіцієнтом − коефіцієнт .

Далі записуватимемо многочлени як у вигляді (13), так і (12), тобто як за спадними степенями змінної х, так і за зростаючими, залежно від того, який запис зручніший. При записі конкретно заданого многочлена як за спадними, так і за зростаючими степенями змінної х члени многочлена, коефіцієнти яких дорівнюють нулю, звичайно не пишуть. Наприклад, многочлен записують так:

 

З формул (5) і (6), які визначають операції додавання і множення в кільці многочленів, випливає, що для будь-яких двох многочленів

 

 

степенів і відповідно справджуються нерівності

                        deg( f + g ) {deg f, deg g},                                   (14)

                        deg( f ∙ g ) deg f + deg g.                                               (15)                                   

◄ Справді, якщо deg f = = deg g, то, за формулою (5), маємо deg(f + g) {deg f, deg g}. Якщо deg f = deg g = , то може виявитися, що старші коефіцієнти кільця , тоді і тому

deg(f  + g), тобто deg(f  + g) {deg f, deg g}. Отже, нерівність (14) справедлива.

Якщо старші коефіцієнти  і многочленів і є дільниками нуля в кільці , то, за формулою (6),,тому deg(f ∙ g)

тобто deg( f ∙ g ) = = deg f + deg g. Таким чином, завжди справджується нерівність (15). ►

З останнього висновку випливає справедливість такого твердження.

Теорема 3. Якщо є областю цілісності, то і кільце многочленів є областю цілісності.

◄ Справді, є комутативним кільцем з одиницею.

Оскільки, за умовою теореми, в кільці дільників нуля немає, то, як показано вище, для будь-яких многочленів і степенів і відповідно deg( f ∙ g ) = deg f + deg g. Тому, якщо і , то . Це означає, що в кільці дільників нуля немає і, отже, кільце – область цілісності. ►

Підкреслимо, що в ході доведення теореми 3 було встановлено справедливість твердження: якщо кільце є областю цілісності, то степінь добутку будь-яких многочленів і із кільця , відмінних від нуль-многочлена, дорівнює сумі степенів цих многочленів.

ВИСНОВКИ

Сукупність усіх многочленів над областю цілісності є область цілісності відносно операцій додавання та множення многочленів.

Якщо є областю цілісності, то і кільце многочленів  є областю цілісності.

Кільце  називається простим алгебраїчним розширенням кільця , якщо x - алгебраїчний елемент над. Якщо ж x трансцендентний елемент над, то кільце називається простим трансцендентним розширенням кільця.

Кільце многочленів  від змінної x утворене приєднанням до комутативного кільця трансцендентного над елемента є простим трансцендентним розширенням кільця .

Будь-яке кільце F, утворене приєднанням до комутативного кільця з одиницею трансцендентного над елемента, ізоморфне кільцю .

 

 

 

 

Література.

1. Завало С. Т. Курс алгебри. – К.: Вища школа. Головне видав-во, 1985. – 503 с.

2. Завало С. Т., Костарчук В. Н., Хацет Б. И. Алгебра і теорія чисел, ч.2.  – К.: Вища школа, 1976. – 384с.

3. Куликов. Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. – М.: Высш. школа, 1979. – 559с., ил.

4. Никитин Н.Д. Алгебра и теория чисел: учебное пособие / Н.Д.Никитин. – Пенза, 2010. – 96 с.