Анализ объекта управления «Школа»

     Граф  СУ (ГСУ) – это ориентированный граф, количество вершин которого соответствует количеству элементов СУ, а количество и направление дуг – количеству и направлению связей между элементами СУ.

     Важным  преимуществом модели СУ в виде графа является возможность эффективного применения компьютерных технологий для обнаружения критических структурных свойств исследуемой СУ.

     Для представления ГСУ «Школа» в  работе были использованы графический  и матричный методы.

     Графическая форма представления предполагает изображение структуры СУ в виде диаграммы, на которой множество точек, интерпретирующих элементы СУ, соединены дугами, интерпретирующими связи между элементами. Графическое представление ГСУ «Школа» приведено в приложении Б. Контекстная диаграмма СУ «Школа», составленная средствами программного пакета CASE.Аналитик, представлена в приложении М.

     Матричная форма представления ГСУ «Школа» предполагает изображение структуры СУ в виде различных матриц (приложение В):

• матрицы смежностей (A), показывающей смежность вершин (таблица В.1);
• матрицы инциденций (B), показывающей инцидентность вершин и дуг (таблица В.2);
• матрицы основных контуров (C), состоящей из единичной матрицы, порядок которой равен числу хорд остовного дерева (т.е. дуг орграфа, не вошедших в остовное дерево), и матрицы остовного дерева орграфа (т.е. подграфа, включающего все вершины графа и не содержащего полуконтуров) (таблица В.3);
• матрицы достижимостей (D), отражающей наличие путей между вершинами орграфа(таблица В.4);
• матрицы расстояний (R), содержащей значения наикратчайших путей между вершинами орграфа (таблица В.5);
• матрицы обходов (S), содержащей значения максимально длинных путей между вершинами орграфа (таблица В.6).

 

2. Анализ числовых и структурных характеристик объекта управления

     Для сравнения структурных свойств  различных графов определяют их числовые характеристики (инварианты), которые  выражаются числами или системами  чисел, характеризуют определенные свойства и являются одинаковыми  для изоморфных графов, т.е. таких, в которых между множеством вершин существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее смежность.

1. Расчет  и анализ простейших числовых характеристик  ГСУ

     К простейшим характеристикам ГСУ  относятся:

• n – количество вершин графа;
• m – количество дуг графа.

     Для исследуемой СУ «Школа» простейшие характеристики имеют следующие значения: n = 16; m = 37.

2. Расчет  и анализ более  сложных числовых характеристик ГСУ

     К более сложным (элементарным) числовым характеристикам ГСУ относят:

• P_i, p_i⁺, p_j^- – степень, полустепени вершин;

     – m – число основных контуров ГСУ (цикломатическое число);

• d_ij, r_ij, s_ij – длины путей;
• H – ширина орграфа;
• L – диаметр орграфа;
• χ (G) – характеристический многочлен.

1. Определение степени, полустепеней вершин ГСУ

     Полустепень исхода вершины орграфа - число инцидентных дуг, исходящих из вершины. Полустепень исхода вершины определяется на основе матрицы смежностей по формуле:

      ,

где a_ij – элемент матрицы смежностей, n – количество вершин орграфа.

     Полустепень захода вершины орграфа - число инцидентных дуг, входящих в вершину. Полустепень исхода вершины определяется на основе матрицы смежностей по формуле:

      .

     Степень вершины определяется по формуле: .

     Вычисленные полустепени и степени вершин ГСУ «Школа» сведены в таблицу 1:

Таблица 1 - Полустепени и степени вершин ГСУ "Школа"

     Анализ  таблицы 1 показывает, что максимальную степень, равную 17, имеет вершина  под номером 1 (директор школы). Это  говорит о том, что данный элемент  исследуемой СУ является наиболее загруженным, критическим в структуре СУ, что  негативно сказывается на функционировании СУ в целом. Избежать перегрузки данного элемента управления и сбоя в работе системы возможно путем рассредоточения информационных потоков, инцидентных вершине под номером 1.

2. Определение числа основных контуров ГСУ

     Контур  управления – это замкнутая последовательность связанных элементов СУ, в которой каждый предыдущий элемент является источников управляющих сигналов для последующего.

     Контуры управления определяют наиболее устойчивые, охваченные обратной связью, функциональные подструктуры СУ.

     Число основных контуров управления – цикломатическое  число связного орграфа – определяется по формуле: .

     Для СУ «Школа» m = 37 – 16 + 1 = 22.

     Довольно  большое количество основных контуров орграфа характеризует исследуемую  СУ как эффективно работающую, т.к. с увеличением числа контуров эффективность функционирования СУ возрастает. Наряду с этим следует отметить, что излишне большое количество контуров управления в СУ приводит к уменьшению централизации управления в структуре и снижению эффективности управления.

     Проанализируем  также матрицу основных контуров (таблица В.3). Матрица явно показывает наличие 22 основных контуров в ГСУ, 7 из которых являются тривиальными. Также можно выделить в ГСУ линейно зависимые контуры: <1 4, 4 2, 2 1>, <2 5, 5 4, 4 2>.

     Анализ  контурной матрицы показывает, что  не все элементы СУ «Школа» охвачены обратной связью.

3. Определение длин путей между вершинами ГСУ

     Длина пути между парой вершин характеризует  длину канала управления. Причем с  увеличением длины канала управления возрастает вероятность искажения передаваемой информации, что может привести к уменьшению надежности работы СУ⁴.

     Длина пути – это число дуг, составляющих путь от одной вершины к другой.

     Для характеристики множества путей  в графе используются матрицы достижимостей, расстояний, обходов.

     Матрица достижимостей (таблица В.4) отражает взаимодостижимость или связность  элементов СУ по отношению друг к  другу. Анализируя матрицу достижимостей СУ «Школа», можно сделать вывод о том, что не все элементы ГСУ являются взаимодостижимыми, т.е. между некоторыми элементами отсутствует связь. Это говорит о том, что исследуемый ГСУ не является сильно связным графом.

     Матрица расстояний (таблица В.5) показывает длины кратчайших путей между  элементами СУ. Анализ матрицы расстояний показывает, что максимальная длина канала управления равна 4. Каналы управления данной длины связывают между собой следующие пары элементов: 3 11, 3 15, 4 11, 8 15, 9 15, 10 15, 11 15, 12 11, 12 15, 13 11, 13 15, 14 11, 14 15, 15 11, 16 11, 16 15. Из этого можно сделать вывод о том, что наименее доступными в информационном и управленческом плане являются элементы под номерами 11 и 15, т.е. предприятия-поставщики и управление образования. С функциональной точки зрения такая удаленность этих элементов от основной массы обусловлены тем, что они (предприятия-поставщики, управление образования) не должны непосредственно взаимодействовать с составляющими школы, например, с медпунктом или библиотекой, либо их взаимодействие минимально.

     Матрица обходов показывает максимальные по длине пути между элементами СУ. Анализируя матрицу обходов, можно сделать вывод о том, что длина максимального пути между элементами равна 9, и наиболее отдаленными друг от друга являются элементы под номерами 8 и 13, 14, 15, т.е. медпункт, учреждение среднего профессионального образования, КДН, управление образования. В этом случае также можно сослаться на функции данных элементов, которые пересекаются минимально или не пересекаются вообще.

4. Определение ширины орграфа

     Ширина  орграфа определяется как длина максимальной антицепи - т.е. упорядоченной последовательности попарно несмежных вершин - по формуле H = l – 1, где l – количество элементов максимальной антицепи.

     Ширина  орграфа позволяет определить наименьшее значение количества каналов управления исследуемой СУ.

     Для рассматриваемой структуры максимальная длина антицепи включила практически все ее элементы и имеет следующий вид: <16 15 14 13 12 11 10 9 8 6 5 3 2>.

     Значит ширина орграфа для СУ «Школа» (и соответственно минимальное число каналов управления) будет равна: H = 13-1 = 12.

5. Определение диаметра орграфа

     Диаметр орграфа определяется как наибольшая длина кратчайшего простого пути в графе. Диаметр орграфа можно определить на основе выделения максимального значения в матрице расстояний.

     Диаметр ГСУ характеризует подмножество пар элементов СУ, находящихся на самом большом расстоянии друг от друга, т.е. пар элементов, связанных каналом управления наибольшей длины.

     Таким образом, диаметр орграфа позволяет  определить множество пар элементов графа, связанных максимальными по длине каналами управления.

     Анализ  матрицы расстояний выявил максимальное значение наикратчайшего канала управления между элементами орграфа, равное 4. Следовательно, диаметр орграфа  структуры СУ «Школа» L = 4.

6. Вычисление характеристического многочлена

     Характеристический  многочлен – своеобразное вычисляемое представление орграфа, позволяющее сравнить между собой свойства нескольких ГСУ по числу и степеням вершин.

     Характеристический  многочлен можно представить  следующим выражением:

      ,

где x - символическая (формальная) переменная, i - степень вершины ГСУ, a_i - число вершин со степенью равной i.

     Для СУ «Школа» характеристический многочлен вывели следующим образом.

     Для каждой вершины орграфа определили степень и количество вершин с заданной степенью (таблица 2):

Таблица 2 - Степени и количество вершин

     После проделанной процедуры записали характеристический многочлен в  порядке убывания степени: χ (G) = x¹⁷ + 2x⁹ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + 5x³ + 4x² + x