Задача  МНК. Подобрать математические ожидания φ(x₁), φ(x₂), …, φ(x_n) так, чтобы вероятность этого события была максимальной. Так как величины Y_i непрерывны, то говорят не о вероятностях событий Y_i=y_i^*, а о вероятностях того, что Y_i примут значения из интервала (y_i^*,y_i^*+dy_i^*), т.е.

     

     Вероятность P того, что система случайных величин (y₁, y₂, …, y_n) примет совокупность значений, лежащих в пределах (y_i^*,y_i^*+dy_i^*), i=1, 2, …, n, с учетом того, что измерения проводятся независимо друг от друга, равна произведению вероятностей F_i(y_i)*dy_i^* для всех значений i:

                              (2)

     Где k – коэффициент, не зависящий от φ(x_i).

     Требуется выбрать математические ожидания

     φ(x₁), φ(x₂), …, φ(x_n) так, чтобы выражение (2) достигало максимума. Это возможно, когда выполнено условие

                                    .                                                  (3)

     Отсюда  получаем требование метода наименьших квадратов: для того чтобы данная совокупность наблюдаемых значений (y₁^*, y₂^*, …, y_n^*) была наивероятнейшей, нужно выбрать функцию φ(x) так, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений y_i^* от φ(x_i) была наименьшей.

       При решении практических задач  зависимость y=φ(x) задается в виде y=φ(x,a₁, a₂, …, a_m), где a₁, a₂, …, a_m – числовые параметры, которые необходимо определить. Учитывая соотношение (3), получим

                                                                   (4)

     Продифференцируем выражение (4) по a₁, a₂, …, a_m и прировняем полученные производные нулю. Получим следующую систему уравнений:

      ,

      ,

       … … … … … … … …  … … ;                                                           (5)

      , 

     где - значения частной производной функции φ по а_k в точке х_i.

     Отметим, что в общем случае систему (5) решить нельзя, так как неизвестен вид функции φ(x,a₁, a₂, …, a_m). При решении практических задач зависимость y от x ищут в виде линейной комбинации известных функций с коэффициентами a₁, a₂, …, a_m, а именно: . Подставив значение φ_k(х) в (5), решаем эту систему и находим a₁, a₂, …, a_m.

       Рассмотрим один из частных  случаев МНК: пусть зависимость  y от х выражается линейной функцией y=a₁+a₂x. Тогда значения коэффициентов a₁ и a₂ находятся по следующим формулам:

             ;               (6) 

     2.2 Экспоненциальное  сглаживание 

     Экспоненциальное  сглаживание – один из простейших и распространенных приемов выравнивания ряда. В его основе лежит расчет экспоненциальных средних.

     При исследовании временного ряда x_t экспоненциальное сглаживание проводится по формуле:

     

                   (8)

     где х_t – текущий член временного ряда в момент времени t;

          S_t – значение экспоненциальной средней в момент времени t;

           α – параметр адаптации (параметр сглаживания),

     0< α<1, β=1-α.

     В качестве начальных условий для  применения экспоненциального сглаживания рекомендуется выбирать следующие значения:

     - среднее арифметическое всех имеющихся значений (или части значений) временного ряда;

     - среднее геометрическое всех имеющихся значений временного ряда;

     - значения, выбранные из статистики, полученной при наблюдении за аналогами изучаемого явления.

     Величина  S_t оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса падают экспоненциально в зависимости от давности наблюдения.

     Экспоненциальная  средняя S_t имеет то же математическое ожидание, что и ряд х, но меньшую дисперсию. Чем меньше α, тем в большей степени сокращается дисперсия экспоненциальной средней.  

     2.3 Двухпараметрическая модель Хольта 

     При исследовании численности населения  используется двухпараметрическая модель Хольта.

     Простейшая  модификация двухпараметрической  модели Хольта выглядит следующим образом:

     

     где: - временной ряд;

      - прогнозное значение врем. ряда в точке t на шагов вперед;

      - шаг прогноза;

      - коэффициенты;

      - параметры адаптации,  и ;

      - ошибка прогноза. 

     2.4 Трехпараметрическая модель Бокса и Дженкинса 

     Модель  Бокса и Дженкинса является одним  из вариантов “усовершенствованной”  модели Хольта за счет включения в расчетные формулы разности ошибок прогнозов:

                                                                                             (1)

                       (2)

                                        (3)

                                                                                             (4)

     где – ошибка прогноза.

     Обобщенная  модель Бокса и Дженкинса может  применяться для прогнозирования нестационарных временных рядов, так как содержит не только операцию сглаживания скользящим средним, но и элементы авторегрессии.

     Модель  основывается на гипотезе, что изучаемый  процесс является выходом линейного фильтра, на вход которого подан процесс белого шума, т.е. что член ряда является взвешенной суммой текущего и предыдущих значений входного потока.

     Если  последовательность предыдущих значений конечна или бесконечна, но сходится, то фильтр называется устойчивым, а процесс - стационарным.

     3 Описание выбранных  программных продуктов

 

     Для расчетов будут использоваться СПП STATISTICA и MS Excel.

     MS Excel - средство для работы с электронными таблицами, намного превышающее по своим возможностям существующие редакторы таблиц. MS Excel - это простое и удобное средство, позволяющее проанализировать данные и, при необходимости, проинформировать о результате заинтересованную аудиторию, используя Internet.

     Достоинства Microsoft Excel:

• Эффективность анализа данных;
• Быстрый и эффективный анализ, удобные средства для работы с данными (мастер сводных таблиц позволяет быстро обрабатывать большие массивы данных и получать итоговые результаты в удобном виде);
• Механизм автокоррекции формул автоматически распознает и исправляет ошибки при введении формул;
• Использование естественного языка при написании формул.
• Богатство средств форматирования и отображения данных
• Новые средства форматирования делают оформление таблиц более ярким и понятным (возможности слияния ячеек в электронной таблице, поворот текста в ячейке на любой угол);
• Новый и дополненный Мастер создания диаграмм позволяет сделать представление данных в таблицах более наглядным (более удобный и мощный мастер создания диаграмм, новые типы диаграмм - диаграммы в виде круглых столбиков, тетраэдров, в виде «бубликов» и др.);
• Совместное использование данных и работа над документами;
• Microsoft Excel обеспечивает возможность одновременной работы нескольких пользователей над одним документом;
• Обмен данными и работа в Internet;
• Теперь возможно использовать самые свежие данные путем получения их в виде электронных таблиц прямо с Web-серверов в Internet;
• Возможность использовать встроенный Internet Assistant для преобразования таблицы в формат HTML и публикации на Web-сервере.

 

     Пакет STATISTICA был создан в начале 1990-х годов сразу для среды Windows. В пакете нашли отражение многие последние достижения теоретической и прикладной статистики.

     У пакета есть специальная версия для  обучения основам статистических методов – Studеnt Еditiоn оf STATISTICA. Эта версия позволяет анализировать файлы данных, включающих не более 400 наблюдений, и представляет собой урезанный вариант пакета.

     Основная  версия пакета может дополнительно  комплектоваться специализированными модулями: Роwеr Analysis (планирование статистических исследовании), Nеural Nеtwоrks (нейросетевой анализ) и др.

     С помощью реализованных в системе STATISTICA мощных языков программирования, снабженных специальными средствами поддержки, легко создаются законченные пользовательские решения и встраиваются в различные другие приложения или вычислительные среды. Очень трудно представить себе, что кому-то могут понадобиться абсолютно все статистические процедуры и методы визуализации, имеющиеся в системе STATISTICA, однако опыт многих людей, успешно работающих с пакетом, свидетельствует о том, что возможность доступа к новым, нетрадиционным методам анализа данных помогает находить новые способы проверки рабочих гипотез и исследования данных.

          STATISTICA является наиболее динамично развивающимся статистическим пакетом и по многочисленным рейтингам является мировым лидером на рынке статистического программного обеспечения. СПП STATISTICA является универсальной системой, предназначенной для статистического анализа и визуализации данных, управления базами данных и разработки пользовательских приложений, содержащей широкий набор процедур анализа для применения в научных исследованиях, технике, бизнесе.

     Она состоит из следующих основных компонент, объединенных в рамках одной системы:

• электронных таблиц для ввода и задания исходных данных;
• специальных таблиц для вывода численных результатов анализа;
• графической системы для визуализации данных и результатов статистического анализа;
• набора специализированных статистических модулей, в которых собраны группы логически связанных между собой статистических процедур;
• специального инструментария для подготовки отчетов.

     Статистический  анализ данных в системе STATISTICA может быть разбит на следующие основные этапы:

• ввод данных в электронную таблицу с исходными данными и их предварительное преобразование перед анализом;
• визуализация данных при помощи того или иного типа графиков;
• применение конкретной процедуры статистической обработки;
• вывод результатов анализа в виде графиков и электронных таблиц с численной и текстовой информацией.