Контрольная работа по "Эконометрики"

4. Используя значения β-коэффициентов, можно рассчитать параметры уравнения в естественной форме:

а₁ = β_yx1 * σ_у/σ_х1 = 0,469*36,03/6,642 = 2,544

а₂ = β_yx2 * σ_у/σ_х2 = 0,525*36,03/114,7 = 0,165

а₀ = у – а₁*х₁ – а₂*х₂ = 42,43 – 2,544*7,758 – 0,165*168,6 = - 5,125.

    В конечном счёте, имеем уравнение: Ŷ_х1х2 = - 5,125 + 2,544 * х₁ + 0,165 * х₂ . По значениям коэффициентов регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу (от своей средней).

    С увеличением инвестиций 2000 года в основной капитал на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт увеличивается на 2,544 млрд. руб., с увеличением среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт возрастает на 0,165 млрд. руб.

    Но  так как признаки-факторы измеряются в разных единицах, сравнивать значения их коэффициентов регрессии не следует. Точную оценку силы связи факторов с результатом дают коэффициенты эластичности и β- коэффициенты.

5. Для сравнительной оценки силы связи выполним расчёт средних коэффициентов эластичности. С их помощью можно определить, на сколько процентов изменяется результат при изменении фактора на 1% (от своего среднего значения). В нашем случае, расчёт показал, что влияние среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на валовой региональный продукт оказалось более сильным по сравнению с влиянием инвестиций 2000 года в основной капитал: с ростом среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на 1% валовой региональный продукт увеличивается на 0,656%, а при увеличении инвестиций 2000 года в основной капитал на 1% валовой региональный продукт возрастает на 0,465%. Различия в силе влияния весьма значительны: первый фактор влияет на результат почти в полтора раза сильнее, чем второй. Поэтому регулирование величины валового регионального продукта через среднегодовую стоимость основных фондов в экономике будет более результативным, чем через рост инвестиций 2000 года в основной капитал.

Э_ух1 = а₁ * х₁/у = 2,544*7,758/42,43 = 0,465;

Э_ух2 = а₂ * х₂/у = 0,165*168,6/42,43 = 0,656.

6. Тесноту выявленной зависимости валового регионального продукта от среднегодовой стоимости основных фондов в экономике и от инвестиций 2000 года в основной капитал оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β-коэффициентов. R_yxj = √¯∑r_yxj* β_yxj. В нашем случае 2-х факторной зависимости расчёт строится следующим образом:

R_yx1х2 = √¯r_yx1* β_yx1 + r_yx2* β_yx2 = √¯0,9493*0,469 + 0,9541*0,525 = √¯0,946 = 0,973

R²_yx1х2 = 0,947

    Как показали расчеты, установлена весьма тесная зависимость валового регионального продукта от среднегодовой стоимости основных фондов в экономике и от инвестиций 2000 года в основной капитал. Это означает, что 94,7% вариации валового регионального продукта определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 5,3% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна.

7. Оценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. То есть, Н₀/а₀ = а₁ = а₃ = R²_yx1х2 = 0.

    Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и остаточной дисперсий и их степеней свободы: df₁ = k и df₂ = n-k-1; где: n - число изучаемых единиц; k - число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k = 2.

F_факт = R²_yxj/1- R²_yxj: k/n-k-1

В нашем  случае, когда рассматривается зависимость  результата от двух факторов, расчёт выглядит следующим образом:

F_факт = R²_yx1х2/1- R²_yx1х2: k/n-k-1 = 0,947/0,053:2/12-2-1≈80,41.

    Фактическое значение критерия показывает, что  детерминация, сформированная под воздействием двух изучаемых факторов, почти в 80 раз больше, чем детерминация, связанная с действием прочих причин. Очевидно, что подобное соотношение случайно сформироваться не может, а является результатом влияния существенных, систематических факторов.

    Для принятия обоснованного решения  F_факт сравнивается с F_табл, которое формируется случайно и зависит степеней свободы факторной (df₁ = k) и остаточной (df₂ = n-k-1) дисперсий, а также от уровня значимости α = 0,05 F_табл= 4,26. В силу того, что F_факт = 80,41 > F_табл = 4,26, можно с высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы - согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.

8. Техническая часть прогнозных расчётов по уравнению множественной регрессии сравнительно проста. Достаточно определить прогнозные значения каждого факторного признака х_j,p, подставить их в уравнение и выполнить с ними расчёт прогнозного значения результата - ỹ_р. При этом следует помнить, что требования к точности и надёжности прогноза предъявляют к используемой модели повышенные требования. В нашем случае, прогнозное значение каждого из факторов, то есть х_1,1 и х_2,1 , получено на основе средней величины:

х_1,1 = х₁ * 1,077 = 7,758 * 1,077 = 8,355.       

х_2,1 = х₂ * 1,077 = 168,6 * 1,077 = 181,582.

После подстановки  в уравнение получаем следующий  результат:

ỹ_х1,1;х2,1 = - 5,125 + 2,544 * 8,355 + 0,165 * 181,582 = 46,09 (млрд. руб.)

    Если  среднегодовой стоимости основных фондов в экономике возрастет до 181,582 млрд. руб., а инвестиции 2000 года в основной капитал составят 8,355 млрд. руб., тогда следует ожидать, что валовой региональный продукт возрастёт до 46,09 млрд. руб., то есть увеличится на 8,6% от своего среднего уровня. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  №4. 

    Предлагается  изучить взаимосвязи социально-экономических  характеристик региона за период.

    Y₁ – доля занятых в экономике в процентах от численности экономически активного населения региона, %;

    Y₂ – среднемесячная заработная плата 1-го занятого в экономике региона, тыс. руб.;

    Y₃ – стоимость продукции и услуг в среднем на 1-го занятого в экономике региона, тыс. руб.;

    X₁ – доля лиц в возрасте 25-45 лет в общей численности населения региона, %;

    X₂ – процент лиц со специальным профессиональным образованием среди занятых в экономике региона, %;

    X₃ – инвестиции текущего года в экономику региона, млрд. руб.;

    X₄ – среднее число членов в семьях региона, чел.;

    X₅ – среднее число детей в семьях региона, чел. 

    Приводится  система рабочих гипотез, которые  необходимо проверить.

    Y₁ = f (Y₂, X₁, X₄);

    Y₂ = f (Y₃, X₂, X₃, X₅);

    Y₃ = f (Y₁, Y₂, X₁, X₂, X₃). 

Задание:

1. Используя рабочие гипотезы, постройте систему структурных уравнений и проведите их идентификацию;
2. Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;
3. Опишите методы, с помощью которых будет найдено решение уравнений (косвенный МНК, двухшаговый МНК).

 

Решение. 

   

1. В соответствии с предложенными рабочими гипотезами построим график, отображающий связи каждой из представленных переменных с другими переменными. Отличительной особенностью уравнений системы является наличие прямых и обратных зависимостей между переменными Y₁, Y₂ и Y₃. Указанная особенность характерна для так называемых структурных уравнений. В состав структурных уравнений входят:

  а) эндогенные переменные (Y_j), значения которых формируется в условиях данной системы признаков и их взаимозависимостей и

  б) экзогенные переменные (х_m), значения которых формируются вне данной системы признаков и условий, но сами экзогенные переменные участвуют во взаимосвязях данной системы и оказывают влияние на эндогенные переменные. Коэффициенты при эндогенных переменных обозначаются через а_m,i, коэффициенты при экзогенных переменных обозначаются через b_j,i, где i – число изучаемых объектов; m – число экзогенных переменных, которые обычно обозначают через x; j – число эндогенных переменных, обычно обозначаемых через Y. Таким образом, в каждом уравнении системы каждый коэффициент при переменной имеет двойную индексацию:

   1) - номер эндогенной переменной, расположенной в левой части уравнения и выступающей в качестве результата;

   2) - номер переменной, находящейся  в правой части уравнения и выступающей в качестве фактора.

   В нашей задаче система уравнений  для описания выдвигаемые рабочие  гипотезы будет иметь следующий  вид:

Y₁ = a₁₂*Y₂ + b₁₁*x₁ + b₁₄*x₄

Y₂ = a₂₃*Y₃ + b₂₂*x₂ + b₂₃*x₃ + b₂₅*x₅

Y₃ = a₃₁*Y₁ + a₃₂*Y₂ + b₃₁*x₁ + b₃₂*x₂ + b₃₃*x₃

    Выполним  идентификацию каждого структурного уравнения и всей системы для ответа на вопрос – имеют ли решения каждое из уравнений и система в целом. Воспользуемся счётным правилом, по которому в каждом уравнении системы необходимо сравнить число эндогенных переменных в данном уравнении – Y_н и число отсутствующих в уравнении экзогенных переменных из общего для всей системы их перечня – Х_D. Для удобства анализа представим результаты в таблице. 

Результаты  идентификации структурных уравнений  и всей системы.