Контрольная работа по "Эконометрике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 01 Мая 2011 в 23:19, контрольная работа

Описание

Требуется:

1. найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициенту регрессии


Уравнение линейной регрессии имеет вид: У= а + b * х.

Работа состоит из  1 файл

эконометр. в. 7.doc

— 494.00 Кб (Скачать документ)

     Задача 1

      По  предприятиям легкой промышленности региона  получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн. руб.) от объема капитальных вложений (Х, млн. руб.)

№ п\п Объем выпуска продукции, млн. руб.

У

Объем капитальных вложений, млн. руб.

Х

1 85 36
2 60 28
3 99 43
4 117 52
5 118 51
6 125 54
7 56 25
8 86 37
9 115 51
10 68 29
 

      Требуется:

      1. найти параметры  уравнения линейной  регрессии, дать  экономическую интерпретацию коэффициенту регрессии 

     Уравнение линейной регрессии имеет вид: У= а + b * х.

     Оценка  параметров которого может быть оценена  методом наименьших квадратов. Система нормальных уравнений составит:

       

t у х у*х х*х у*у
у -
А
1 85 36 3060 1296 7225 82,2571 2,7429 0,0323
2 60 28 1680 784 3600 63,7476 -3,7476 -0,0625
3 99 43 4257 1849 9801 98,4528 0,5472 0,0055
4 117 52 6084 2704 13689 119,2759 -2,2759 -0,0195
5 118 51 6018 2601 13924 116,9623 1,0377 0,0088
6 125 54 6750 2916 15625 123,9033 1,0967 0,0088
7 56 25 1400 625 3136 56,8066 -0,8066 -0,0144
8 86 37 3182 1369 7396 84,5708 1,4292 0,0166
9 115 51 5865 2601 13225 116,9623 -1,9623 -0,0171
10 68 29 1972 841 4624 66,0613 1,9387 0,0285
                 
ИТОГО 929 406 40268 17586 92245     -0,0129
Среднее значение 92,9 40,6 4026,8 1758,6 9224,5      

     b =

  =
=
= 2,3138

     а =

- b*
= 92,9 – 2,3138 * 40,6 = - 1,035

     Уравнение линейной регрессии имеет вид:

         У = - 1,035  +  2,3138 * х

     Т.е. с увеличением объема капитальных вложений на 1 руб. объем выпуска продукции повысится в среднем на 2,3138 %-ных пункта.

     Расчетные значения  определяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения, т.е.

Наблюдение Предсказанное у Остатки
1 82,25708 2,742925
2 63,74764 -3,74764
3 98,45283 0,54717
4 119,2759 -2,27594
5 116,9623 1,037736
6 123,9033 1,096698
7 56,8066 -0,8066
8 84,57075 1,429245
9 116,9623 -1,96226
10 66,06132 1,938679
 

     2. Вычислены остатки,  остаточная сумма  квадратов, оценка  дисперсии остатков, построен график остатков

     Для проведения корреляционного анализа  воспользуемся инструментом Корреляция и Регрессия в EXCEL. Результаты вычисления (корреляционного анализа) представлены в таблице 1.

 

      

Таблица 1

ВЫВОД ИТОГОВ
                 
Регрессионная статистика              
Множественный R 0,996659              
R-квадрат 0,993329              
Нормированный R-квадрат 0,992496              
Стандартная ошибка 2,225694              
Наблюдения 10              
                 
                 
Дисперсионный анализ            
  df SS MS F Значимость F      
Регрессия 1 5901,27 5901,27 1191,282 5,43E-10      
Остаток 8 39,62972 4,953715          
Итого 9 5940,9            
                 
                 
                 
  Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0%
Y-пересечение -1,03538 2,81112 -0,36831 0,722194 -7,51783 5,447078 -7,51783 5,447078
Х 2,313679 0,067034 34,51495 5,43E-10 2,159098 2,46826 2,159098 2,46826
                 
 

 

     Используя расчеты таблицы 1, получаем:

      Остатки по линейной модели равны

Наблюдение Предсказанное У Остатки Стандартные остатки
1 82,25708 2,742925 1,307148
2 63,74764 -3,74764 -1,78595
3 98,45283 0,54717 0,260755
4 119,2759 -2,27594 -1,08461
5 116,9623 1,037736 0,494536
6 123,9033 1,096698 0,522634
7 56,8066 -0,8066 -0,38439
8 84,57075 1,429245 0,68111
9 116,9623 -1,96226 -0,93512
10 66,06132 1,938679 0,923882
 

     Остаточная сумма квадратов равна - Стандартная ошибка регрессии  S = , где - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии), n – число наблюдений (в нашем примере 10), m – число объясняющих переменных (в нашем примере равно 2). В рассматриваемой модели составляет S = = 2,225694, что свидетельствует о высокой точности построенной модели.

     График  остатков имеет вид:

 

     3. проверено выполнение  предпосылок МНК

      Оценка параметров модели регрессии (a0 , b) осуществляется по методу наименьших квадратов. Одним из условий регрессионной модели является предположение о линейной независимости переменных, т.е. решение задачи возможно лишь тогда, когда столбцы и строки матрицы исходных данных линейно независимы.

      а0   -1,03538
а = Т * Х)-1 * ХТ * У =   b 1 = 2,313679
 

     Оценим  значимость отдельных параметров построенной  модели. Из таблицы 1 видно, что на уровне значимости α = 0,05 все включенные в модель факторы являются значимыми: Р – значение < 0,05.

     Границы доверительного интервала для коэффициентов  регрессии не содержат противоречивых результатов:

     - с надежностью 0,95 (с вероятностью 95,0 %) коэффициент b1 лежит в интервале -7,51783 ≤ а1 ≤ 5,447078;

     - с надежностью 0,95 (с вероятностью 95,0 %) коэффициент b2 лежит в интервале 2,159098≤ b1 ≤ 2,46826

     Таким образом, модель запишется в виде:

         

     = - 1,035  +  2,3138 * х

     Как говорилось выше, анализ Р – значения  показывает, что оба коэффициента а1 и а2  значимы. 

     4. осуществлена проверка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t – критерия Стьюдента статистической значимости коэффициентов уравнения линейной  регрессии 

taj =

=

      ta0 = -0,36831
      tb1 = 34,51495
 

     Табличное значение t – критерия при доверительной вероятности 0,95 составляет 2,365. Поскольку  tb1 > tрасч = 2,365, то коэффициент являются существенными (значимы). 

     5. вычислен коэффициент  детерминации R2, проверена значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (a = 0,05), найдена средняя относительная ошибка аппроксимации, оценено качество модели 

     Коэффициент детерминации R2 показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Значение R2 = 0,993329 свидетельствует о том, что вариация зависимой переменной У (объем производства продукции) в основном (на 99,33 %) можно объяснить вариацией включенных в модель объясняющей переменной Х. Следовательно, около 99,33 % вариации зависимой переменной У учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов. Это свидетельствует об адекватности модели.

     Стандартная ошибка регрессии в рассматриваемой модели составляет 1,225755, что свидетельствует об очень высокой точности построенной модели.

     Расчетное значение F-критерия Фишера составляет  1191,282. Значимость F = 5,43E-10, что меньше чем 0,05. Таким образом,  полученное уравнение в целом значимо. 

      6. построен прогноз  среднего значения  показателя У при  уровне значимости a = 0,1, если прогнозное значение фактора Х составляет 80,0 % от его максимального значения 

Х прогноз = 54,0 * 0,8 = 43,2   У прогноз  = 98,915 

    7. построен график  фактических, модельных  и прогнозного  значения У (см. график)

 

     
 

    

 

    

      8. составлены уравнения нелинейной регрессии, для каждой из которых найдены коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. 

     8.1. степенная парная регрессия

     Уравнение степенной модели имеет вид:  У = а * х b

     Для построения этой модели произведем линеаризацию переменных. Для этого прологарифмируем обе части уравнения:

     lg у = lg а + b * lg  x.

     Обозначим  У = lg , Х = lg  x,  А = lg а. Тогда уравнение примет вид:

     У = А + b * Х   - линейное уравнение регрессии.

     Рассчитаем  его параметры, используя следующую таблицу:

  у У х Х УХ X2
1 85 1,929419 36 1,556303 3,002759 2,422077
2 60 1,778151 28 1,447158 2,573266 2,094266
3 99 1,995635 43 1,633468 3,259807 2,668219
4 117 2,068186 52 1,716003 3,549014 2,944667
5 118 2,071882 51 1,70757 3,537884 2,915796
6 125 2,09691 54 1,732394 3,632674 3,001188
7 56 1,748188 25 1,39794 2,443862 1,954236
8 86 1,934498 37 1,568202 3,033684 2,459257
9 115 2,060698 51 1,70757 3,518786 2,915796
10 68 1,832509 29 1,462398 2,679857 2,138608
             
  929 19,516 406 15,929 31,232 25,514
  92,9 1,952 40,6 1,593 3,123 2,551

Информация о работе Контрольная работа по "Эконометрике"