Практическая работа по "Теории упругости и пластичности"

ЗАДАЧА 1.   Плоское напряженно-деформированное состояние в точке тела

 

Условие.  В некоторой частице тела (элемента конструкции типа плиты, оболочки, балки-стенки и др.) задано напряженное состояние в виде тензора напряжений

.                                           (1.1)

 

Значения напряжений даны в табл. 1.1 в соответствии с номером варианта, который задается по списку студенческой группы, составленному преподавателем. Значения напряжений заданы формулами:

 

где N – номер варианта.

В задаче 1 напряжения принимаются равными нулю.

 

Требуется:

 

1. Графически изобразить напряжения на гранях малого элемента тела с учетом их фактических направлений.
2. Определить главные напряжения и направления, пользуясь формулами:

,                 (1.2)

                  .                                          (1.3)

При необходимости перенумеровать главные напряжения в порядке убывания по алгебраической величине:

                .                                               (1.4)

3. Проверить величины главных напряжений, как напряжений в системе осей повернутых на угол α, по формулам:

 

                          (1.5)

 

Изобразить графически главные  площадки и главные нормальные напряжения.

Определить напряжения в системе  осей, повернутых на угол , подставив в формулы (1.5) вместо угол .

 

 

Таблица 1.1

Величины напряжений к задачам 1 и 2

 

№  варианта	Напряжения, МПа
1	90	-140	-190	200	150	-130
2	80	-130	-180	190	140	-120
3	70	-120	-170	180	130	-110
4	60	-110	-160	170	120	-100
5	50	-100	-150	160	110	-90
6	40	-90	-140	150	100	-80
7	30	-80	-130	140	90	-70
8	20	-70	-120	130	80	-60
9	10	-60	-110	120	70	-50
10	0	-50	-100	110	60	-40
11	-10	-40	-90	100	50	-30
12	-20	-30	-80	90	40	-20
13	-30	-20	-70	80	30	-10
14	-40	-10	-60	70	20	0
15	-50	0	-50	60	10	10
16	-60	10	-40	50	0	20
17	-70	20	-30	40	-10	30
18	-80	30	-20	30	-20	40
19	-90	40	-10	20	-30	50
20	-100	50	0	10	-40	60
21	-110	60	10	0	-50	70
22	-120	70	20	-10	-60	80
23	-130	80	30	-20	-70	90
24	-140	90	40	-30	-80	100
25	-150	100	50	-40	-90	110
26	-160	110	60	-50	-100	120
27	-170	120	70	-60	-110	130
28	-180	130	80	-70	-120	140
29	-190	140	90	-80	-130	150
30	-200	150	100	-90	-140	160

Убедиться в том, что инварианты тензора напряжений сохраняются:

                (1.6)

          

Третий инвариант вычисляется  по обычным правилам раскрытия определителя третьего порядка.

4. Графически изобразить тензор напряжений в виде эллипсоида Ламе. Построить круги напряжений Мора, указать . Вычислить главные касательные напряжения

           (1.7)

Указать эти величины на кругах Мора и обосновать их инвариантность.

5. Определить среднее нормальное напряжение

                                         (1.8)

и разложить тензор напряжений на шаровой тензор и тензор-девиатор

,                          (1.9)

где компоненты тензора-девиатора  напряжений вычисляются по формулам

,   ,   ,

,   ,   .

 

6. Вычислить на октаэдрических площадках нормальное напряжение

                                             (1.10)

где – среднее напряжение, вычисляемое по формуле (1.8), касательное

                  (1.11)

а также интенсивность напряжений

.         (1.12)

Сравнить  и .

7. Пользуясь данными табл. 1.2 вычислить и занести в таблицу для каждой точки диаграммы пластический модуль , пластический коэффициент Пуассона (принимая условие упругого изменения объема), пластический модуль сдвига , используя формулы

              (1.13)

где - интенсивность деформаций.

 

Таблица 1.2

 

Диаграмма растяжения тонкостенной трубки из стали 45

 

Номер точки	(МПа)		(МПа)		(МПа)
1	165	0,824	2,00	0,300	0,770
2	224	1,12	2,00	0,300	0,769
3	279,5	1,42	1,97	0,303	0,755
4	320	1,73	1,85	0,315	0,703
5	344	2,06	1,67	0,333	0,626
6	352	2,66	1,32	0,368	0,484
7	364	3,26	1,12	0,388	0,402
8	386	4,16	0,928	0,407	0,330
9	403	5,35	0,753	0,425	0,264
10	435	6,56	0,663	0,434	0,231
11	447	7,76	0,576	0,442	0,200
12	453	8,96	0,506	0,449	0,174
13	464	10,2	0,455	0,455	0,156
14	478	12,0	0,398	0,460	0,136
15	491	13,2	0,372	0,463	0,127
16	496	13,8	0,359	0,464	0,123
17	506	15,1	0,335	0,466	0,114
18	517	16,2	0,319	0,468	0,109
19	526	17,4	0,302	0,470	0,103
20	535	18,6	0,288	0,471	0,098
21	543,5	19,7	0,276	0,472	0,094
22	550,5	20,9	0,263	0,474	0,089
23	559	22,0	0,254	0,475	0,086
24	566,5	23,8	0,238	0,476	0,081
25	573,5	24,6	0,233	0,477	0,079

   

Обосновать, почему при растяжении тонкостенной трубки .

8. Начертить в масштабе графики зависимостей , , , . Определить по графикам предел пропорциональности материала и установить, в каком состоянии (упругом, упругопластическом) находится материал, используя условия пластичности Сен-Венана и Мизеса.
9. Определить деформации пользуясь обобщенным законом Гука для упругого материала

,   ,

,   ,         (1.14)

,   .

или

   ,

   ,               (1.15)

   .

где  ,

либо соотношениями теории малых  упругопластических деформаций (ТМУПД) за пределом упругости

   ,

   ,              (1.16)

   .

где

 

10.  Определить главные деформации по формулам

                (1.17)

При необходимости перенумеровать главные деформации в порядке  убывания по алгебраической величине:

                                              (1.18)

Проверить величины главных деформаций по формулам для упругого материала

     ( ),        (1.19)

либо упругопластического материала

,    ( ).      (1.20)

11. Вычислить октаэдрический сдвиг

                     (1.21)

и сравнить его со значением, полученным по формулам

.                                   (1.22)

для упругого или упругопластического  материала соответственно.

Вычислить главные сдвиги

            (1.23)

Сравнить величины и .

 

 

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 1

 

1. Компоненты тензора напряжений (1.1), выбранные в соответствии с номером варианта из табл. 1, имеют следующие числовые значения:

Изображение напряжений с учетом их фактических направлений             показано на рис. 1.1.

 

Рис. 1.1. Напряженное  состояние в точке тела

 

2. Главные напряжения определяются по формулам (1.2):

.

Главные напряжения перенумеровываются в соответствии с условием (1.4)

 

     Угол наклона главных  осей (главные направления  –  направления главных напряжений) определяется по формуле (1.3):

 

 

3. Напряжения в системе осей, повернутых на угол относительно исходных осей, вычисляются по формулам (1.5):

,

,

Полученные величины являются напряжениями на главных площадках. Главные площадки и главные напряжения показаны на рис. 1.2.

 

 

Рис. 1.2. Главные площадки и главные  напряжения

 

     Напряжения на площадках, повернутых на угол

 относительно исходных осей, вычисляются по формулам (1.5):

                     

    

 

     Инварианты тензора напряжений вычисляются по формулам (1.6):

 

     

 

Инварианты тензора напряжений сохраняются при повороте координатных осей.

4. Эллипсоид напряжений Ламе строится в главных осях (совпадающих по направлению с главными напряжениями). Уравнение эллипсоида имеет вид

где – проекции вектора полного напряжения на главные оси. Полуоси эллипсоида равны абсолютным величинам главных напряжений

Эллипсоид напряжений, изображенный с помощью сечений плоскостями, перпендикулярными главным осям, показан на рис. 1.3.

 

 

Рис. 1.3. Эллипсоид напряжений Ламе

Для построения кругов напряжений Мора необходимо предварительно найти их центры и радиусы. Координаты центров:

     первого круга  

     второго круга  

     третьего круга  

Радиусы кругов равны соответственно главным касательным напряжениям (1.7):

Круги напряжений изображены на рис. 1.4.

 

 

Рис. 1.4. Круги напряжений Мора

 

     Инвариантность максимальных  касательных напряжений и других  величин, указанных на кругах Мора, следует из того, что они выражаются через главные напряжения, являющиеся инвариантами тензора напряжений.

5. Среднее нормальное напряжение определяется по формуле (1.8):

Тензор напряжений раскладывается на шаровой тензор и тензор-девиатор по формуле (1.9):

6. Октаэдрическое нормальное напряжение по (1.10)

октаэдрическое касательное напряжение по (1.11)

интенсивность напряжений из (1.12)

Соотношение что соответствует теоретическому условию 

7. Вычисленные по формулам (1.13) пластический модуль , пластический коэффициент Пуассона , пластический модуль сдвига приведены в таблице 1.2.

Напряженное состояние тонкостенной трубки при растяжении показано на рис. 1.5. Согласно этому, главные напряжения в тонкостенной трубке интенсивность напряжений (1.12)

Главные деформации тонкостенной трубки интенсивность деформаций

.

 

Рис. 1.5. Напряженное состояние тонкостенной трубки при растяжении

 

8. Построенные по данным табл. 1.2 графики приведены на рис. 1.6 – 1.9. По этим графикам можно приближенно определить предел пропорциональности Для условия пластичности Сен-Венана

для условия пластичности Мизеса

Следовательно, материал находится  в упругопластическом состоянии.

 

Рис. 1.6. Диаграмма растяжения стали 45

 

 

 

Рис. 1.7. Зависимость пластического модуля от  
интенсивности напряжений

 

Рис. 1.8. Зависимость  пластического коэффициента Пуассона от

интенсивности напряжений

 

 

Рис. 1.9. Зависимость пластического  модуля сдвига от интенсивности

 напряжений

 

9. Для рассматриваемой точки тела .  По табл. 1.2 и по графикам находятся величины .

Деформации определяются по формулам (1.16) ТМУПД:

,

                 

10. Главные деформации вычисляются по формуле (1.17):