Эффект Холла

                                                          

.                                                (2.5)

Предполагается, что вектор зависит только от величины скорости:

                             

               (2.6)

Используя выражение для вектора при вычислении второго интеграла в (2.3), получаем: 

                                      

.                        (2.7)

Производную, стоящую в подынтегральном выражении, можно оценить, если начать исследовать уравнение (2.6). Так как в рассматриваемом случае , это уравнение имеет вид:

                                     

.                        (2.8)

Предположим, что магнитное поле мало, так что  главный вклад в (2.8) дает первый член в правой части. Тогда в первом приближении при дифференцировании произведения вторым членом в правой части полученного результата можно пренебречь, т. е. имеем:

                                              

,                                 (2.9)

первое приближение.

Но

                                                   

,                                          (2.10)

и выражение (2.9) примет вид:

                                     

.                          (2.11)

Подставляя (2.11) в (2.8) получаем:

                                     

.                      (2.12)

Второе  приближение можно найти, дифференцируя (2.12) по v и считать все величины, кроме v, постоянными. В результате находим:

                                   

.                      (2.13)

Эту процедуру  последовательных приближений можно  продолжать до бесконечности. Для наших целей достаточно ограничиться приближением (2.29), подставив его в выражение (2.23) имеем:

                              

,                (2.14)

где через  обозначен интеграл, возникающий за счёт второго члена в правой части (2.13). Так как

                                                 

,                                     (2.15)

то, раскрывая  произведение , приведём соотношение (2.14) к следующему виду:

                       

.          (2.16)

Теперь к первому  интегралу в правой части (2.16) можно применить формулу разложения в ряд фермиевского интеграла, в результате находим:

                             

.                  (2.17)

Наконец можно подставить выражения (2.4) и (2.17) в уравнение (2.3) и получить выражение для тока:

                                        

                            (2.18)

Из (2.18) можно найти (с учётом того, что ) следующие выражения для составляющих тока и поля:

                                         

,                                (2.19)

                                             

.                                     (2.20)

Э. Д. С. Холла содержит член, линейный по . Не так обстоит дело для тока. Наинизшая степень магнитного поля, которая входит в выражение для тока, равна 2, в чем можно убедиться, если подставить выражение (2.20) для в выражение (2.19). Поскольку мы постулировали, что магнитное поле мало, членами, квадратичными по можно пренебречь. Тогда из выражений (2.19) и (2.20) вытекает:

                                                          

,                                                 (2.21)

                                                      

,                                           (2.22)

а коэффициент  Холла оказывается равным:

                                                         

,                                                 (2.23)

или

                                                           

,                                                   (2.24)

В выражение  для коэффициента Холла входят только плотность электронов и заряд электрона. Более того, если ток переносится дырками, а не электронами, единственное изменение в выражении (2.24) состоит в замене на . Коэффициент Холла, таким образом, отрицателен в случае электронной проводимости и положителен в случае дырочной. Следовательно, измеряя коэффициент Холла, мы получаем информацию, как о знаке заряда носите 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.2. Эффект Холла в полупроводниках и типа. Угол Холла. 

Рассмотрим  плоский исследуемый образец плёнку, которая находится на диэлектрической подложке.

Изобразим структуру исследуемого образца:

Рисунок 1.1. – Структура  исследуемого образца. 

ab – эквипотенциальная поверхность (перпендикулярная протеканию тока).

Рассмотрим  полупроводник  - типа:

 Рис. 1.2. – Эффект Холла в полупроводнике

- типа. 

В отсутствие магнитного поля напряженность электрического поля в проводнике совпадает с направлением и между двумя поперечными контактами a и b, расположенными в плоскости, перпендикулярной к , разность потенциалов равна нулю. При включении поперечного магнитного поля между разомкнутыми контактами а и b появляется разность потенциалов, которая изменяет знак при изменении направления тока или магнитного поля. Направление результирующего электрического поля теперь не совпадает с направлением , а повернуто относительно   на некоторый угол , который получил название угла Холла. Эквипотенциальные поверхности, которые в отсутствие магнитного поля были плоскостями, перпендикулярными к (одна из них проходила через точки а и b), теперь перпендикулярны , т. е. повернуты тоже на угол (рис. 1.2).  В результате измерений получается общее значение Э.Д.С., которое складывается из истинного значения и погрешности , связанной с наличием контактов не перпендикулярных направлению электрического тока поверхности.

                                                    

.                                              (2.25)

 

Рис. 1.3. – Эффект Холла  в полупроводнике

- типа при другом направлении магнитного поля. 

Измерения с использованием другой пары контактов  позволит определить , а среднее значение из и позволит определить с минимальной погрешностью. Ещё более точное измерение Э.Д.С. Холла будет в том случае, если их повторить для различных направлений магнитного поля .

Рис. 1.4. – Эффект Холла  в полупроводнике

- типа при другом направлении тока.  

Таким образом, только многократные измерения эффекта Холла при различных направлениях B, I, а также использование двух пар контактов и измерений произведённых с их участием позволяет минимизировать погрешность измерения Э.Д.С. Холла, а следовательно электрофизических параметров полупроводников.

Рассмотрим  теперь эффект Холла в полупроводниках  - типа. 

 

 

Рис. 1.5. – Эффект Холла в полупроводнике

- типа. - вектор магнитной индукции направлен к нам; b – от нас. 

Из сравнения  полупроводников n и p – типа электропроводности с одинаковым направлением тока и магнитным полем следует, что Э.Д.С. Холла имеет противоположное направление, то есть по знаку Э.Д.С. Холла судят о типе электропроводности полупроводника .

Знаки угла Холла и постоянной Холла  зависят от знака заряда подвижных  частиц, обуславливающих электропроводность. Если магнитная индукция направлена от плоскости рисунка к читателю и подвижные частицы несут положительный заряд, то при указанном направлении тока сила Лоренца F будет направлена вниз, и нижняя грань кристалла будет заряжаться положительно, а верхняя — отрицательно. Результирующее электрическое поле будет повернуто относительно тока   против часовой стрелки. В этом случае условились считать угол Холла и постоянную Холла положительными.

При отрицательно заряженных частицах сила F направлена тоже вниз, однако в этом случае нижняя грань кристалла будет заряжаться отрицательно и холловское поле изменит знак. Соответственно поле окажется повернутым по часовой стрелке и будут отрицательны.

Эффект  Холла находит себе различные  технические применения. Его можно использовать для измерения напряженности магнитного поля или, если последнее известно, для измерения силы тока и мощности. С помощью эффекта Холла можно генерировать, модулировать и демодулировать электрические колебания, осуществлять квадратичное детектирование колебаний, усиливать электрические сигналы и решать другие технические задачи.

Угол  Холла и постоянная Холла выражаются непосредственно через компоненты тензора электропроводности в магнитном поле . Будем считать сначала, что есть носители заряда только одного типа. Тогда их скорость дрейфа направлена вдоль тока (оси X, рис. 1.5, ), а сила Лоренца и поле Холла лежат в плоскости XY, в соотношениях:

                                            

                                    (2.26)

где . Далее учтём:

                                                  

, .                                      (2.27)

В справедливости первого из этих соотношений мы убедимся прямым расчетом. Второе очевидно без расчета, так как оси X и Y равноправны по отношению к . Тогда, полагая в (2.26) (разомкнутые потенциальные зонды а и b), мы имеем:

                                              

.                                      (2.28)

Далее,  исключая из первого соотношения (2.27) и формулы (2.28), находим:

                                                 

.                                          (2.29)

Для постоянной Холла :

                                                   

.                                           (2.30)

лей, так  и о плотности свободных электронов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.3. Эффект Холла и магнетосопротивление. 

В 1879 году Холл попытался определить, действует ли сила, испытываемая проводником с током в магнитном поле, на весь проводник или же только на электроны, движущиеся в проводнике. Сам он подозревал последнее, и его эксперимент основывался на том, что «если электрический ток   в закрепленном проводнике сам притягивается к магниту, то этот ток должен подходить ближе к одной из сторон проводника и поэтому испытываемое им сопротивление должно нарастать». Его попытки обнаружить такое добавочное сопротивление оказались безуспешными, но Холл не считал, что это позволяет делать окончательные выводы: «Магнит может стремиться отклонить ток, не будучи способным сделать это. Очевидно, в таком случае в проводнике существовало бы состояние напряжения, как бы электрическое давление, действующее в направлении одной из сторон проводника». Подобное состояние напряжения должно проявляться в существовании поперечной разности потенциалов (или э. д. с. Холла), которую Холлу удалось наблюдать.