Эффект Холла

                  

  
 

a

 

b

Рисунок 1.6. -  Схема эксперимента Холла: a – геометрия опыта; b – поле Холла в стационарном режиме (при установившейся дрейфовой скорости v). Индукция магнитного поля направлена перпендикулярно плоскости чертежа, к наблюдателю. 

   Схема эксперимента Холла изображена на рис. 1.6. Имея дело с немагнитными и слабомагнитными материалами можно считать магнитным полем величину H, поскольку разница между H и B в этом случае чрезвычайно мала. К проводнику, расположенному вдоль оси , приложено электрическое поле , вызывающее электрический ток . Помимо того, имеется магнитное поле , параллельное оси . В результате появляется сила Лоренца:

                                                 

,                                           (2.31)

отклоняющая электроны в отрицательном направлении  оси  (дрейфовая скорость электрона направлена против тока). Однако электроны не могут долго двигаться в направлении оси , поскольку они достигают границы проводника. По мере того как они там скапливаются, нарастает электрическое поле, направленное вдоль оси и противодействующее движению и дальнейшему накоплению электронов. В состоянии равновесия это поперечное поле (или поле Холла) Е_у компенсирует силу Лоренца, и ток идет лишь в направлении оси .

Две величины представляют здесь интерес. Одна из них — это отношение поля вдоль проводника Е_х к плотности тока j_x:

                                                       

.                                                 (2.32)

Холл  обнаружил, что эта величина (магнетосопротивление) не зависит от поля. Другой характеристикой является величина поперечного поля Е_у. Поскольку такое поле уравновешивает силу Лоренца, можно полагать, что оно должно быть пропорциональным как приложенному полю Н, так и току в проводнике. Поэтому величину, называемую коэффициентом Холла, определяют как:

                                                         

.                                                  (2.33)

     Следует обратить внимание на то, что, поскольку  поле Холла направлено против оси у (рис. 1.6), коэффициент R_H должен быть отрицательным. С другой стороны, если бы заряд носителей был положительным, знак их X - компоненты скорости был бы обратным и сила Лоренца осталась бы неизменной. В результате поле Холла имело бы направление, противоположное тому, которое оно имеет при отрицательно заряженных носителях. Этот вывод очень важен, поскольку он означает, что измерения поля Холла позволяют определить знак носителей заряда. Экспериментальные данные, впервые полученные Холлом, находились в согласии со знаком заряда электрона, определенным позднее Томсоном. Одна из замечательных особенностей эффекта Холла заключается, однако, в том, что в некоторых металлах коэффициент Холла положителен, и поэтому носители в них должны, видимо, иметь заряд, противоположный заряду электрона.

Чтобы рассчитать коэффициент Холла, определим в начале плотности тока j_x и j_y в случае, когда имеется электрическое поле с произвольными компонентами Е_х и Е_у, а также магнитное поле Н, направленное вдоль оси z. На каждый электрон, движущийся с дрейфовой скоростью действуют электрическое и магнитное поля, следовательно действует (не зависящая от пространственных координат) сила:

                                                 

,                                            (2.34)

 поэтому уравнение движения электронов для импульса в расчете на один электрон будет выглядеть так:

                                               

,                                        (2.35)

где второй член в правой части введён, чтобы  учесть электрическое сопротивление; - импульс электрона; - время между последовательными соударениями (время свободного пробега).

Следует иметь в виду, что сила Лоренца не одинакова для всех электронов, поскольку она зависит от скорости электрона v. Поэтому силу f   из уравнения (2.4) нужно считать средней силой в расчете на один электрон. Поскольку, однако, зависимость этой силы от того, на какой электрон она действует, содержится лишь в члене, линейном по скорости электрона, среднее значение силы получается просто путем замены этой скорости на среднюю скорость :

                                               

.                                     (2.36)

Для геометрии  опыта, представленном на (рис. 1.6), представим в записи по компонентам:

, 

                                             

,                                      (2.37) 

,

где используются обозначения для циклотронной частоты  обращения электронов по спиральным орбитам в магнитном поле:

                                                          

.                                                   (2.38)

В стационарном состоянии ток и дрейфовая  скорость не зависит от времени и  поэтому (2.37) имеет вид: 

,

                                                

,                                       (2.39)

.

Запишем закон  Ома по компонентам:

,

                                                 

,                                         (2.40)

,

где  - статическая удельная электропроводность.

Умножив обе части равенств (2.39) на  и учитывая (2.40) получим:

,

                                                 

,                                        (2.41)

.

Учтём геометрию опыта (рис. 1.6): , и нет тока в направлении Y, , в результате (2.41) примет вид:

,

                                                     

,                                           (2.42)

.

Поле  , существующее благодаря действию силы Лоренца, и получило название поля Холла:

                                          

,                          (2.43)

где введена  постоянная Холла:

                                                         

.                                                (2.44)

Коэффициент Холла не зависит ни от каких параметров металла, кроме плотности носителей. Выше мы уже вычисляли n, предполагая, что валентные электроны атома в металле превращаются в электроны проводимости. Измерение коэффициента Холла дает прямой способ проверки справедливости такого предположения .

При выводе уравнения для ЭДС Холла сделан ряд допущений, связанных с тем, что полная скорость электронов принимается раной дрейфовой скорости, т.е. не учитывается скорость хаотического теплового движение электронов и их распределение по скоростям. Поэтому более строгое выражение для постоянной Холла, имеет вид: , где A – постоянная, зависящая от механизма рассеяния носителей заряда. При рассеянии электронов на акустических, оптических колебаниях решётки, на ионах примеси величина A соответственно принимает значения: 1,17; 1,11; 1,93.

При попытках определить плотность электронов n, используя результаты измерений коэффициентов Холла, возникает трудность, связанная с тем, что в действительности в противоречие с формулой (2.44) эти коэффициенты обычно зависят от магнитного поля. Кроме того, они зависят от температуры и от того, насколько тщательно приготовлен образец. Это кажется довольно странным, поскольку время релаксации, которое может сильно зависеть от температуры и состояния образца, в (2.44) не фигурирует. Тем не менее, при самых низких температурах для очень чистых, тщательно приготовленных образцов в чрезвычайно сильных полях измеряемые значения постоянной Холла, по-видимому, действительно стремятся к некоторому пределу .

Отрицательное значение соответствует электронам. Вообще, знак константы Холла зависит от типа носителей зарядов и, например, в дырочном полупроводнике . Важным следствием формулы (2.44) является возможность экспериментального определения концентрации заряженных частиц с помощью эффекта Холла и в металлах, и в полупроводниках.  

 Коэффициенты  Холла для некоторых металлов приведены в таблице №2.  

Таблица №2. Экспериментальные и вычисленные значения константы Холла.

Расчёт  по формуле (2.44) в предположении, что число электронов равно числу атомов .

Применение  константы Холла для расчёта  электрофизических свойств  твёрдых  тел показало ошибочность теории Друде для некоторых металлов. Теоретический результат Друде подтверждает экспериментальное наблюдение Холл, не обнаружившего зависимости сопротивления от поля. Действительно, при (как это имеет место в стационарном состоянии, когда поле Холла уже установилось) первое из уравнений (2.41) сводится к уравнению , то есть проводимость имеет такую же величину, как и в нулевом магнитном поле. Однако, как показали более точные эксперименты на многих металлах, в действительности сопротивление обнаруживает зависимость от магнитного поля, в ряде случаев очень сильную. Объяснение того, почему теория Друде оказывается применимой для одних металлов, а для других возникают такие разительные расхождения, должна дать квантовая теория твердого тела (Ашкрофт).

Фактически  формула (2.44) справедлива для произвольной сферы в - пространстве, заполненной носителями. Теория эффекта Холла и других гальваномагнитных явлений основывается очевидно, на существенном использовании теоремы Блоха и на описании электронных состояний в пространстве обратной решётки. В неупорядоченной системе, когда компоненты вектора уже не есть хорошие квантовые числа, выводы, полученные с помощью кинетического уравнения, сразу же попадают под сомнение. Фактически, однако, пока ещё нет точной теории, с помощью которой можно заменить можно заменить простую формулу (2.44). Последняя формула дает вполне удовлетворительное согласие с опытными данными для жидких металлов, несмотря на то что длина свободного пробега электрона оказывается там порядка межатомного расстояния. Неясно, однако, можно ли наблюдать эффект Холла в предельном случае прыжковой проводимости по локализованным состояниям .

Для характеристики напряженности магнитного поля удобно использовать безразмерную величину , играющую в теории важную роль. Когда величина мала, из уравнений (2.41) следует, что ток j почти параллелен Е, как это было бы в отсутствие магнитного поля. В общем случае ток j направлен к Е под углом (называемым углом Холла). Из уравнений (2.41) следует, что . Величина , называемая циклотронной частотой, представляет собой просто круговую частоту  вращения свободного электрона в магнитном поле H. Произведение мало, если электроны между столкновениями могут проделать лишь малую часть оборота, и велико, если они могут совершить много оборотов. Иначе говоря, когда , магнитное поле лишь слегка деформирует орбиты электронов, а когда величина сравнима с единицей и больше, то влияние магнитного поля на орбиты электронов становится преобладающим. Для численной оценки циклотронной частоты удобна формула: