Эффект Холла

Эффект  Холла принадлежит к числу  гальваномагнитных явлений. Другим важным их представителем является эффект магнетосопротивления, при котором удельное сопротивление проводника изменяется в поперечном постоянном магнитном поле:

где - коэффициент поперечного магнето сопротивления, зависящий от вещества. Следовательно, пропорционально квадрату индукции магнитного поля меняется и ток j. Однако в этом случае мы имеем дело с качественным изменением свойств проводимости твердого тела в результате действия постоянного магнитного поля, расчет влияния которого достаточно сложен. Первоначально изотропное твердое тело приобретает анизотропию свойств, так что, в общем случае воздействия постоянного магнитного поля, удельное сопротивление — скаляр — преобразуется в антисимметричный тензор второго ранга, а коэффициент будет иметь смысл одной из компонент тензора четвертого ранга, ответственного за магнетосопротивления. 
 
 

1.4. Квантовый эффект  Холла. 

Эффект  Холла, наблюдающийся в условиях квантования энергетического спектра свободных носителей заряда в узких инверсионных каналах и при использовании достаточно больших магнитных полей, кардинально отличается от рассмотренного выше классического эффекта Холла и называется квантовым. Квантовый эффект Холла был открыт в 1980 голу К.Клитцингом с сотрудниками; в 1985 г. авторы этого открытия удостоены Нобелевской премии.

Один  из основных параметров эффекта Холла  - холловское сопротивление R_H.

Рис. 1.7. - Зависимость  холловского сопротивления 

и продольного инверсионного - канала на кремнии от индукции магнитного поля. 

На рис. 1.7 показана типичная зависимость холловского сопротивления инверсионного канала на поверхности кремния от индукции магнитного поля. В области малых магнитных полей регистрируется обычная для классического эффекта Холла линейная функция , наклон которой обратно пропорционален величине . При возрастании магнитного поля вид этой зависимости становится совершенно иным – на ней все более отчетливо проявляются отдельные "ступеньки". Замечательным свойством этих ступенек является то, что их высота, независимо от типа и конструкции образца, всегда определяется соотношением , где n – целые числа. Величина продольного сопротивления инверсионного канала в интервалах магнитных полей, соответствующих постоянным значениям холловского сопротивления, стремится к нулю – канал в продольном направлении становится как бы "сверхпроводящим" – см. рис.1.7,b.

Для того чтобы понять основные особенности  квантового эффекта Холла, учтем, что плотность состояний двумерного электронного газа в инверсионном канале постоянна. При наложении перпендикулярно инверсионному каналу магнитного поля электроны начинают двигаться в плоскости канала по круговым циклотронным орбитам, это движение также квантовано и непрерывный энергетический спектр (в пределах одной квантовой подзоны) расщепляется на дискретные эквидистантные уровни Ландау:

где – циклотронная частота вращения электронов. Число электронов на одном квантовом уровне Ландау определяется произведением плотности состояний на величину расщепления уровней Ландау .

При постепенном  увеличении магнитного поля расщепление  уровней Ландау возрастает, и они последовательно пересекают уровень Ферми. При каждом таком пересечении избытки электронов в инверсионном канале увеличиваются на . Из (2.45) следует, что сопротивление Холла по мере повышения магнитной индукции изменяется скачками – каждый скачок соответствует заполнению очередного уровня Ландау  . Поскольку сопротивление Холла равно:

В интервалах магнитной индукции, соответствующих  полному заполнению m–ого уровня Ландау и отсутствию электронов на (m+1) – уровне (уровень Ферми расположен между m–ым и (m+1)-м уровнями Ландау) число свободных электронов в канате не меняется. Кроме того, отсутствуют потери энергии на рассеяние, поскольку энергетическое расстояние между заполненным и пустым уровнями Ландау велико. Поэтому перенос электронов вдоль канала при полях, соответствующих плато на зависимости происходит так, как если бы продольное сопротивление вообще отсутствовало – рис. 2.5,b.

      Как следует из (2.47), величина "кванта" сопротивления Холла может быть выражена через постоянную тонкой структуры , определяющую релятивистские поправки к энергетическим спектрам атомов (с – скорость света). Это дает уникальную возможность с высокой точностью определять этот фундаментальный параметр без привлечения результатов квантовой электродинамики. "Квант" холловского сопротивления предлагается признать международным эталонным сопротивлением, поскольку его величина не зависит от места измерения и не меняется со временем.

      В некоторых случаях экспериментально наблюдался так называемый "дробный" эффект Холла – в отличие от описанного выше "целочисленного", – когда число п принимает не целые, а дробные значения (1/3, 2/3  1/5, 2/5, ..., 2/7 и т.п.).

Для объяснения дробного эффекта Холла привлекают представлении о "квантовой жидкости" — системе электронов, взаимодействующих между собой. Основное и возбужденное состояния в квантовой жидкости отделены энергетической щелью, ширина которой определяется величиной энергии кулоновского отталкивания электронов. Появление дополнительной энергетической щели в спектре возбуждений носителей заряда и является причиной возникновения дробного эффекта Холла.

Квантовый эффект Холла наблюдался в двумерных инверсионных каналах на кремнии n и p-типа, а также в гетеропереходах на основе соединений : GaAs, GaSb, InAs, InP. Для его реализации нужно, чтобы величина расщепления уровней Ландау была существенно больше, чем их собственная ширина  и тепловая энергия . Как правило, это можно осуществить только при гелиевых температурах и высоких магнитных полях . Условия наблюдения дробного эффекта Холла более жесткие, чем целочисленного, поэтому он регистрировался только в гетеропереходах AlGaAs-GaAs, в которых очень велики подвижность электронов в инверсионном канале у поверхности GaAs. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.5. Определение концентрации и подвижности носителей заряда в полупроводнике методом эффекта Холла. 

Исследования  эффекта Холла позволяют определить основные электрофизические свойства полупроводников.

Определив величину , для различных температур, можно построить зависимость концентрации носителей заряда в функции от температуры. Учитывая, что температурная зависимость концентрации носит экспоненциальный характер, её строят в координатах . Это позволяет представить зависимость концентрации свободных носителей заряда от температуры в виде совокупности прямых линий. Как видно из (рис. 1.8), график разбит на три области.  

Рис. 1.8. - Зависимость концентрации носителей заряда от температуры

Область I называется областью низких температур. Образование свободных носителей заряда происходит за счёт перехода электронов с донорного уровня в зону проводимости для полупроводника n–типа электропроводности, а для полупроводника p–типа электроны переходят из валентной зоны на акцепторный уровень. Энергия активации примесного уровня определяется из уравнения

где k – постоянная Больцмана,

Область II – область истощения примеси. Как видно из рисунка, концентрация свободных носителей заряда не зависит от температуры. Это соответствует тому, что все электроны с донорного уровня перешли в зону проводимости в полупроводнике n-типа электропроводности, а для полупроводников p-типа электропроводности заполнены все энергетические состояния на акцепторном уровне электронами, перешедшими из валентной зоны. В этой области концентрация свободных носителей заряда равна концентрации примесных атомов.

Область III является областью высоких температур. Здесь энергия теплового хаотического движения электронов kT соизмерима с величиной запрещённой зоны . Поэтому электроны переходят из валентной зоны в зону проводимости, при этом образуются парные носители заряда: электрон и дырка. Ширина запрещённой зоны может быть определена из графика (см. рис. 1.8) посредством следующего выражения:

Величина  определяется из уравнения (2.51) применительно к области III.

Исследования  эффекта Холла позволяют измерить не только концентрацию свободных носителей заряда, но и их подвижность. Подвижность носителей заряда m это скорость дрейфа носителей заряда в электрическом поле единичной напряженности. Она  определяется по формуле:

где s - электропроводность полупроводника. Зная величины и s для нескольких температур, можно построить температурную зависимость подвижности  носителей  заряда,  график  которой  строится в координатах .

Рис. 1.9. - Зависимость подвижности носителей заряда от температуры 

На (рис. 1.9) приведен пример температурной зависимости подвижности носителей заряда в полупроводнике. Величина подвижности зависит от механизмов рассеяния носителей заряда. В области высоких температур, когда амплитуда колебаний узлов кристаллической решетки велика, происходит рассеяние носителей заряда на фононах. Подвижность носителей заряда пропорциональна и соответственно для полупроводников, содержащих невырожденный и вырожденный электронный газ. При низких температурах рассеяние носителей заряда происходит на ионизированных примесях. Этот механизм рассеяния носителей заряда заключается в следующем: движущиеся электроны либо притягиваются к атому примеси, либо отталкиваются от него благодаря кулоновским силам, действующим между заряженными частицами, в зависимости от знака заряда примеси. В результате, при рассеянии на ионизированных примесях изменяется по направлению скорость движения электронов. Для полупроводников, содержащих невырожденный электронный газ, подвижность носителей заряда пропорциональна . Подвижность носителей заряда для случая вырожденного электронного газа не зависит от температуры.

Если  величина подвижности носителей  заряда определяется несколькими механизмами рассеяния, то доминирующий механизм определяется из соотношения   

где , , – соответственно подвижность носителей заряда, обусловленная рассеянием на фононах, ионизированных и нейтральных примесях. Как следует из этого уравнения, преобладающим является тот механизм, который обуславливает минимальное значение величины подвижности носителей заряда. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Расчёт  электрофизических параметров полупроводника  методом эффекта Холла. 

2.1. Определение постоянной Холла и типа электропроводности исследуемого полупроводника.   

Для начала следует отметить, что исходные данные, необходимые для выполнения этой работы размещены на листе задания в таблице 1.