Статистический анализ урожайности картофеля

    Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсии  и среднее квадратическое отклонение.

    Дисперсия -  это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней.  Дисперсия обычно  называется средним квадратом  отклонений и обозначается .  В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по  средней арифметической простой или взвешенной:

 —  дисперсия невзвешенная (простая);

 —  дисперсия взвешенная.

    Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии  и обозначается S:

 —  среднее квадратическое  отклонение невзвешенное;

 — среднее квадратическое  отклонение взвешенное.

    Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.).

    Среднее квадратическое  отклонение  является  мерилом  надежности средней. Чем  меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.

    Вычислению  среднего  квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии.

Порядок расчета дисперсии  взвешенной:

1) определяют  среднюю арифметическую взвешенную

;

2) определяются отклонения вариант от средней ;

3) возводят  в квадрат отклонение каждой  варианты от средней  ;

4) умножают  квадраты отклонений на веса (частоты)  ;

5) суммируют  полученные произведения 

;

6) Полученную  сумму делят на сумму весов

.

    Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах.  Они  позволяют сравнивать характер рассеивания  в различных распределениях  (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних,  при сравнении  разноименных  совокупностей). Расчет  показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к  средней  арифметической, умножаемое на 100%.

    Коэффициент вариации.

      

    Учитывая, что среднеквадратическое отклонение дает обобщающую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности, коэффициент вариации является  наиболее  распространенным  показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.  При этом  исходят из того, что если V больше 40 %, то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности. 

    2.1. Задание 2

   Используя данные статистической группировки, рассчитать основные показатели вариации урожайности картофеля (размах вариации, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации) по каждой выделенной группе и в целом по совокупности.

   Данные  для расчета показателей вариации.    

     Таблица 2.1

 

    

    1) Рассчитаем размах вариации для данной группировки.

    По  первой группе:

          

    По  второй группе:

          

    По  третьей группе:

          

    И в целом по совокупности:

            

    2) Определим дисперсию.

    Для первой группы:

    

    Для второй группы:

    

    Для третьей группы:

    

    В целом по совокупности:

      

    3) Необходимо рассчитать среднее  квадратическое отклонение.

    По  первой группе:

    

    По  второй группе:

    

    По  третьей группе:

    

    Всего по совокупности:

    

    4) Определим коэффициент вариации. 

    Для первой группы:

    

    Для второй группы:

    

    Для третьей группы:

    

    И общий коэффициент вариации равен:

      
 
 

    2.3. Выводы. 

    1. Размах вариации по 20 сельскохозяйственным  предприятиям составляет 96 ц/га.

    2. Дисперсия в целом по группировке  предприятий составила 702,121.

    3. Среднее квадратическое отклонение  показывает, что значение признака  в совокупности отклоняется от  средней величины в ту или   иную сторону в среднем на 26,498 ц/га.

    4. Рассматриваемая совокупность является  однородной, так как значение  коэффициента вариации составило 16,124%. 

 

     Раздел 3. Корреляция.

    3.1. Теоретические положения.

    Корреляция  – статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с  некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения одной или нескольких  из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин.

    В статистике принято различать следующие  варианты зависимостей:

    1. Парная корреляция – связь  между двумя признаками (результативным  и факторным или двумя факторными).

    2. Частная корреляция – зависимость  между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков.

    3. Множественная корреляция – зависимость  результативного и двух и более  факторных признаков, включенных в исследование.

    Задача  корреляционного анализа сводится к установлению направления (положительное  или отрицательное) и формы (линейная, нелинейная) связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты, и, наконец, к проверке уровня значимости полученных коэффициентов корреляции.

    Корреляционные  связи различаются по форме, направлению  и степени  (силе).

    По  форме корреляционная связь может  быть прямолинейной или криволинейной. Прямолинейной может быть, например, связь между количеством тренировок на тренажере и количеством правильно решаемых задач в контрольной сессии. Криволинейной может быть, например, связь между уровнем мотивации и эффективностью выполнения задачи. При повышении мотивации эффективность выполнения задачи сначала возрастает, затем достигается оптимальный уровень мотивации, которому соответствует максимальная эффективность выполнения задачи; дальнейшему повышению мотивации сопутствует уже снижение эффективности (рис. 1).

     рис. 1.

    По  направлению корреляционная связь может быть положительной ("прямой") и отрицательной ("обратной"). При положительной прямолинейной корреляции более высоким значениям одного признака соответствуют более высокие значения другого, а более низким значениям одного признака - низкие значения другого. При отрицательной корреляции соотношения обратные. При положительной корреляции коэффициент корреляции имеет положительный знак, например r=+0,207, при отрицательной корреляции - отрицательный знак, например r=—0,207.

    Степень, сила или теснота корреляционной связи определяется по величине коэффициента корреляции.

    Сила  связи не зависит от ее направленности и определяется по абсолютному значению коэффициента корреляции.

    Максимальное  возможное абсолютное значение коэффициента корреляции r=1,00; минимальное r=0,00.

    Общая классификация корреляционных связей

    - сильная, или тесная при коэффициенте корреляции r>0,70;

    - средняя     при 0,50<r<0,69;

    - умеренная     при 0,30<r<0,49;

    - слабая     при 0,20<r<0,29;

    - очень слабая     при r<0,19.  
 

     Произвести  расчет по итоговым значениям можно  по формулам: 

       

     Корреляционно-регрессионный  анализ учитывает межфакторные связи, следовательно, дает нам более полное измерение роли каждого фактора: прямое, непосредственное его влияние на результативный признак; косвенное влияние фактора через его влияние на другие факторы; влияние всех факторов на результативный признак. Если связь между факторами несущественна, индексным анализом можно ограничиться. В противном случае его полезно дополнить корреляционно-регрессионным измерением влияния факторов, даже если они функционально связаны с результативным признаком. 
 
 

      3.2. Задание 3.

    С помощью корреляционного анализа  определить влияние доли посадок  картофеля, размещенных по лучшим предшественникам, на урожайность картофеля по 20 сельскохозяйственным предприятиям. Для этого изобразить на графике зависимость урожайности от доли его посадок, размещенных по лучшим предшественникам, построить линейное уравнение регрессии, рассчитать коэффициент корреляции и оценить его достоверность с помощью t-критерия Стьюдента. 

    Построим  график зависимости урожайности  картофеля от доли его посадок, размещенных  по лучшим предшественникам (рис. 2).

    Рис. 2.

    График  показывает, что при увеличении доли посадок картофеля, размещенных по лучшим предшественникам, значение урожайности картофеля в среднем повышается. В данном случае имеется линейная зависимость, которая может быть отражена уравнением прямой линии: