Анализ и синтез оптимальной одноконтурной САУ при использовании непрерывного и цифрового регуляторов

       Так как в явном виде функцию Т₀=f ^–1(q₀) вывести сложно, но из графика видно, что она монотонно убывает, следовательно минимум на отрезке q₀ Î [3,45; 3,55] будет при q₀=3,55.

       Расчет  Т₀ сводится к решению уравнения

        . (5.11)

Для решения  данного уравнения воспользуемся алгоритмом поиска корня уравнения методом дихотомии. После решения уравнения мы получили, что

       Т₀ =1,25.

       Подставляя  значение Т₀ =1,25 в выражения (5.4)-(5.9) найдем коэффициенты Z-передаточной функций приведенной непрерывной части.

       Тогда

        .      (5.12)

При этом q₀ =3,540075. Согласно формуле (5.3)

     .     (5.13)

       Найдем  Z-передаточную функцию разомкнутой цифровой системы. Она равна W_р(z)=W_нч(z)*W_ф(z) и равна

. (5.14)

       Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание – управляющие воздействие равна

                 (5.15)

и равна

.

       Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание – выходная величина равна

                 (5.16)

       и равна

.

       Вычислим  коэффициенты усиления по указанным  каналам. По определению коэффициент усиления есть отношение изменения  на выходе к изменению на входе в установившемся режиме, т.е.

        .             (5.17)

       Так как

        ,            (5.18)

то подставляя выражения (5.15) и (5.16) в выражение (5.17) найдем, что j(¥)=1, а m(¥)=0,4. Так как Dx(¥)=1, а j(0_-)=0 и m(0_-)=0, то коэффициент усиления по каналу задание – выходная величина равен 1, а по каналу задание – управляющие воздействие равен 0,4.

       Построим  переходную функцию цифрового фильтра. Она равна

  .

       Для вычисления f[n] найдем полюса функции 

.

       Находим 2 полюса 1-го порядка и 1 полюс 2-го порядка. Полюса  
1-го порядка: z=-0,307 и z=-0,045. Полюс 2-го  z=1. Для вычисления переходной функции необходимо вычислить производную следующей функции . Производная данного выражения равна

.

       Тогда передаточная функция примет вид

.

Изобразим переходный процесс на графике.

       Рисунок 5.2 – Переходная функция цифрового  фильтра.

 

       Для построения переходных процессов в  замкнутой цифровой системе по каналам  задание – выходная величина и  задание – управляющие воздействие воспользуемся уравнениями в конечных разностях.

       Суть  метода заключается в следующем. Пусть передаточная функция цифровой системы

        .

       Этой  передаточной функции соответствует  уравнение в конечных разностях:

.

       Значение  искомой выходной величины равно

   . (5.19)

Согласно формуле (5.19) получим, что переходная функция  замкнутой цифровой системе по:

· каналу задание – выходная величина

  y[k]=0,647726×x[k-1] –0,620803×x[k-2] –0,037272×x[k-3] +0,149369×x[k-4] –0,024633×x[k-2] –0,001394×x[k-2] +1,481007×y[k-1] –0,695097×y[k-2]+ +0,101098×y[k-3];

· каналу задание – управляющие воздействие

  y[k]=3,540075×x[k] –10,485749×x[k-1] +12,686121×x[k-2] – 
–8,004397×x[k-3] +2,770507×x[k-4] –0,497542×x[k-5]+0,036182×x[k-6]+ +1,481007×y[k-1] –0,695097×y[k-2]+ +0,101098×y[k-3].

  Данные  расчетов были сведены в таблицы  с учетом того, что x[k]=1.

       Таблица 5.1 – Переходная функция  замкнутой  цифровой системе по каналу задание – выходная величина

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       6 Оптимальное управляющие воздействие  и реакция на него приведенной непрерывной части 
 

       Оптимальное управляющие воздействие было найдено  в пункте 5 и в координатах времени  имеет следующий вид:

       m(t)=3,54(h(t)-h(t-T₀)) –1,703(h(t-T₀)-h(t-2*T₀))+   (6.1)

       +0,758(h(t-2*T₀)-h(t-3*T₀))+0,4 h(t-3*T₀),

 где

  h(t) – функция Хевисайда;

  T₀ – период квантования равный 1,25.

Тогда

       m(t)=3,54(h(t)-h(t-1,25)) –1,703(h(t-1,25)-h(t-2,5))+  (6.2)

       +0,758(h(t-2,5)-h(t-3,75))+0,4 h(t-3,75). 

        Изобразим данное управляющее воздействие на графике. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Рисунок 6.1 – Оптимальное управляющие  воздействие. 

       Для нахождения реакции непрерывной  линейной части на данное воздействие  воспользуемся изображением Лапласа. Используя свойство линейность данного изображения и теорему запаздывания найдем, что

       j(t)= 3,54(g(t) - g(t-1,25)) –1,703(g(t-1,25)-g(t-2,5))+  (6.3)

       +0,758(g(t-2,5)-h(t-3,75))+0,4 h(t-3,75),

 где

g(t)=f(t)h(t),

– переходная функция линейной части, найденная  нами в пункте 4.

       Изобразим реакцию непрерывной линейной части на оптимальное управляющие воздействие.

         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 6.2 – Реакция непрерывной линейной части на оптимальное управляющие воздействие 

       На  этом все построения окончены. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Заключение 
 

       В данной курсовой работе был сделан синтез и анализ оптимальной одноконтурной САУ при использовании трех типов регуляторов, реализующих П-, ПИ- и ПИД-закон регулирования. Проведены сравнительный характеристики данных типов регуляторов и был сделан вывод, что ПИД-закон регулирования является наилучшим среди рассмотренных.

       Были  проведены расчеты по использованию  данных регуляторов в цифровых системах. Как показали расчеты, несмотря на то, что цифровые системы – это системы дискретного действия и действуют через определенные промежутки времени, переходные процессы в цифровых системах не сильно отличаются от переходных процессов в непрерывных системах, а конечное состояние выходной величины одинаково. Кроме того развитие микропроцессорной техники и использование теории управления в цифровых системах позволяют создать регуляторы различной сложности и с заранее заданных свойствами. Один из регуляторов, обеспечивающий перевод системы из одного состояния в другое за минимальное число периодов квантования при наличии ограничения на управляющие воздействие, был синтезирован в данной курсовой работе.

 

        Список литературы 
 

1. Пугачев В.И. Методические указания по курсу: «Теория  автоматического управления» для студентов всех форм обучения специальности 21.01 – автоматика и управление в технических системах. Часть I. Краснодарский политехнический институт – Краснодар, 1990. – 157 с.
2. Пугачев В.И. Методические указания по курсу: «Теория автоматического управления» для студентов всех форм обучения специальности 21.01 – автоматика и управление в технических системах. Часть III. Краснодарский политехнический институт – Краснодар, 1995. – 114 с.
3. Колосов С. П., Калмыков И. В.,Нефедова В. И. “Элементы автоматики”

издательство  “Машиностроение”, Москва, 1970.