Учебные задания с элементами истории математики как средство развития исследовательских умений учащихся 7-9 классов

1. Исследование – изучение, выяснение чего-нибудь;
2. Исследование – научный труд.

В. Оконь [28] в отличие от С.И. Ожегова [27] дает другое определение: исследование – настойчивые и объективные поиски решения проблемы, опирающиеся на проверенные и обобщенные факты. Решение проблемы, по мнению, Оконя [28], должно отвечать истине, а значит, соответствовать действительности, причем критерием этой истинности служат опыт и практика. Потребности являются главной движущей силой в процессе исследования, а главная цель этого процесса – изменение действительности. В. Оконь [28] выделяет три этапа исследования:

1. наблюдение определенных вещей, явлений или процессов;
2. создание гипотезы на основе наблюдаемых фактов и зависимостей между ними;
3. опытная проверка гипотезы, которая осуществляется посредством вывода из гипотезы заключений или экспериментом.

Исходным  пунктом любого исследования является проблема. В философии проблема понимается как знание о незнание. В. Оконь [28], проводя аналогию между процессом обучения и исследования, проводит следующее описание проблемы в обучении:

1. проблема должна предоставлять из себя жизненную ситуацию, относительно легко привлекающую внимание детей и обращенную к интересам и опыту;
2. в каждой ситуации выступает, по крайней мере, одна проблема и, как правило, решение ее связано с большими трудностями;
3. ощущение трудности является отправным пунктом для формирования проблем и гипотез или предварительного решения каждой из них;
4. весь этот процесс заканчивается решением проблемы, которое является результатом отклонения ошибочных гипотез и выбора правильных;
5. динамичность ситуации, которая заключается в естественном переходе от одной ситуации к другой, в вызывании посредством данной ситуации все новых ситуаций, позволяющих таким образом всесторонне осветить познаваемые вещи, явления и процессы или события, а так же возникающие между ними отношения, связи и зависимости.

Для того чтобы ученик мог успешно осуществлять поиск решения новой для него проблемы, он должен владеть необходимыми познавательными умениями.

Психолого-педагогическая сущность умения состоит в том, что  умение человека означает проявленную (доказанную) им готовность к достижению цели в соответствующей деятельности путем осуществление ее под более  или менее строгим контролем  со стороны мышления, со знанием  всей (или части) системы составляющих действий.

В дальнейшем будем понимать умение как готовность сознательно и самостоятельно выполнять практические и теоретические действия на основе усвоенных знаний и жизненного опыта.

Умения, которые необходимы для успешного  поиска решения и решения проблемы назовем общими исследовательскими умениями, так как необходимы при решении проблем в любой сфере деятельности. Общие исследовательские умения – это познавательные умения, обеспечивающие успешное осуществление поиска решения новой проблемы. Общие исследовательские умения могут использоваться учащимися при решении широкого круга задач не только в рамках одного предмета, но и на уроках по другим предметам, а так же в разнообразной практической деятельности.

В стратегии  поисковой деятельности выделяют четыре этапа решения новой проблемы:

1. Изучение условия задачи. Выясняется сущность возникшей проблемы, и выявляются важнейшие данные, которые можно использовать для ее решения.
2. Создание общего плана предполагаемых действий, то есть разработка стратегий решения проблемы.
3. Разработка тактики решения: выбор того или иного конкретного метода решения.
4. Сопоставление результатов с исходными данными.

На основе этих четырех этапах можно выделить следующие структурные элементы общих исследовательских умений:

1. уметь ставить цель работы;
2. уметь критически анализировать условие заданной ситуации;
3. уметь выдвигать и обосновывать гипотезы;
4. уметь планировать решение проблемы;
5. уметь анализировать результат.

 

 

 

1.2.2. Средства формирования исследовательских  умений учащихся при обучении  математике

В дидактике  и педагогики под понятием средства обучения понимаются материальные объекты и носители учебной информации и предметы естественной природы, а так же искусственно созданные человеком и используемые педагогами и учащимися в учебном процессе в качестве инструмента их деятельности [18], [19].

Задачи  в обучении математике играют очень  большую роль. Фридман Л.М. [34] в  одной из своих работ определяет значение этой роли с двух сторон. С  одной стороны, он говорит о том, что «конечные цели этого обучения сводятся к овладению учащимися  методами решения определенной системы  математических задач. С другой стороны, он выделяет то, что «полноценное достижение целей обучения возможно лишь с помощью  решения учебных и математических задач». Он приходит к выводу, что  « решение задач в обучении математике выступает и как цель и как средство обучения».

Выделим различия математической задачи и учебной. Стефанова Н.Л. и др.[25] выделяют то, что «в математической задаче получают математический факт (корень уравнения, график функции и т.д.)

В учебной  задаче – учебный факт, т.е. знание на уровне обобщения, когда оно выполняет  функции метода обучения или учебного познания».

Вовлечение  учащихся в учебно-исследовательскую  деятельность приводит к необходимости  составления соответствующих исследовательских заданий.

Исследовательские задания нестандартны по формулировке проблемы, по способам нахождения их решения, для них характерны как многовариантность способов их решения, так и верных ответов. Для их решения необходимо выдвижение нескольких мощных идей, связывающих различные разделы математики (геометрию и комбинаторику, геометрию и математический анализ и т. п.) Решение их может быть получено только путем следования известному алгоритму, оно требует выдвижения нескольких гипотез, поиск решения их не обходится без догадок, эвристик. Процесс решения исследовательских заданий не конечен: полученное решение порождает новую проблему, имеет свое развитие, углубление в сформулированную проблему. Исследовательское задание представляет собой серию задач, составляющих как бы единое целое, так как в ней рассматривается общая проблема, которая реализуется в различных частных случаях. Результатом решения исследовательского задания является не только получение новых сведений об исследуемом объекте, но и получение новых, раннее неизвестных учащимися методов решения.

И.Я. Лернер [21], под исследовательской задачей понимает задачу, в основе которой лежит противоречие между известным и искомым, находимым при помощи системы действий умственного или практического характера, смысл которых – в обнаружении не заданных в условии задачи связей, а в построении неизвестных субъекту преобразований. В. Оконь [28] под задачами-проблемами понимает такие задачи, в которых содержится определенная практическая или теоретическая трудность, требующая исследовательской активности, приводящей к решению.

 

 

 

1.3 Типы и структура учебных заданий по математике с элементами историзма

Что же такое  учебное задание? На этот вопрос можно  ответить с точки зрения учебной  деятельности. Её «основным структурным  компонентом является учебная задача. Цель этой задачи – развитие обучающегося, подведение его к овладению обобщенными (основными) отношениями в рассматриваем области, к усвоению и овладению новыми способами действий.

Учебная задача – это обобщенная цель деятельности, поставленная (сформулированная) перед  учащимися в виде обобщенного учебного задания, например: осознать и усвоить способ действия по решению дробно-рациональных уравнений.

Учебная задача (с позиции методики обучения) есть синтез предметной задачи (задач) и учебных целей (цели)» [17].

 В  своей работе, Баранова Е.В. [9], выделяет типы учебных заданий, которые способствуют актуализации и обогащению различных форм умственного опыта учащихся. К ним относятся учебные задания:

а) направленные на актуализацию и обогащение понятийного опыта;

б) формирующие умение планировать, контролировать учебную деятельность, развивающие открытую познавательную позицию учащихся;

в) учитывающие эмоционально – оценочный опыт школьников и формирующие ценностное отношение к математическому материалу.

 Для формирования понятийного опыта - это

1. задание – мотивировка;
2. задание – история формулировки;
3. задание - освоение математической символики;
4. задание – поиск формулы;
5. задание – история развития понятий;
6. задание – значение термина;
7. задание – свойства понятий;
8. задание – история алгоритма.

Для метакогнитовного опыта – это

1. задание – проблематизация;
2. задание – поиск ошибок;
3. задание – столкновение разных мнений.

Для эмоционально – оценочного опыта – это

1. задание – эмоциональное впечатление;
2. задание – микросочинение с элементами истории науки;
3. задание – биография.

Структура таких заданий:

• первая часть задания представляет собой текст из истории математики,
• вторая часть задания содержит вопросы для школьников, способствующие установлению  связей данного исторического факта с учебным материалом школьной математики и формированию различных форм умственного опыта учащихся.

Приведем  примеры некоторых выделенных типов  заданий.

Задание – освоение математической символики:

«Крупнейший европейский алгебраист XVI века Лука Пачоли (1445-1517), называвший алгебру «великим искусством», значительно усовершенствовал алгебраическую символику. Уравнение в символике Пачоли записывается так: 5 ce p 2 co равно 4 co m nº3.

1. Найдите соответствия в записях между уравнением в символике Л.Пачоли и уравнением, записанном в современном виде. Назовите, как в данном уравнении обозначена неизвестная, квадрат неизвестного, свободный член уравнения, действия сложение, вычитание.
2. Записать уравнение в символике Пачоли» [9].

Задание-история формулировок:

«Прочти правило, составленное индийским математиком  Брахмагуптой (род. 598 г.). «Сумма двух имуществ есть имущество, двух долгов – долг, имущества и долга – их разность, а если они равны – нуль. Сумма нуля и долга есть долг, имущества и нуля – имущество, двух нулей – нуль».

1. Что в этом правиле понимается под словами «имущество», «долг»?
2. «Переведите» этот текст на современный математический язык.
3. Попытайтесь представить правило схематически [9].

Задание-поиск формулы:

«прочтите текст из сочинения аль Хорезми  об уравнении вида (b>0, c>0).

«Что  касается квадратов и чисел, равных корням, если, например, ты скажешь: квадрат  и число двадцать один дирхем, получится  равное десяти корням этого квадрата. То правило его таково: раздвой [число] корней, получится пять. Умножь это на равное ему, будет двадцать пять. Вычти из этого двадцать один, которые, как сказано, было с квадратом, останется четыре. Извлеки из этого корень, будет два. Вычти это из половины [числа] корней, т.е. пять, останется три: это и будет корень квадрата, который ты искал. Его квадрат – девять: если хочешь прибавить этот корень к половине [числа] корней, будет семь, это [тоже] корень квадрата, который ты искал, его квадрат сорок девять. …Знай, что если в этой главе ты раздвоил [число] корней и умножил на равное ему и произведение оказалось меньше [числа] дирхемов, сложенных с квадратом, задача не возможна. А если оно в точности равно [числу] дирхемов, корень квадрата равен половине числа корней без сложения и вычитания. Всегда, когда тебе встречаются два квадрата, или больше, или меньше, приведи их к одному квадрату».

1. Запишите в современных обозначениях уравнение, о котором пишет аль Хорезми, решите его. Сравните ваш ответ с ответом автора.
2. Запишите приведенное в тексте правило в виде формулы. Сравните с современной формулой.
3. Что по-вашему мнению, в тексте означает фраза «…задача невозможна»? Найдите зависимость между коэффициентами уравнения . Когда задача «невозможна».
4. Что означает фраза в тексте «…корень квадрата равен половине [числа] корней без сложения и вычитания»?
5. Что, по-вашему мнению, означает фраза из текста «…когда тебе встречаются два квадрата, или больше, или меньше, приведите их к одному квадрату…»?