Различные способы построения теории показательной и логарифмической функции

.

Это равенство  означает, что  . Но , . Поэтому .

Формула (3) показывает, что , поставив в соответствие каждому числу его логарифм , мы получаем взаимно – однозначное отображение множества положительных действительных чисел на множество D всех действительных чисел, при котором операция умножения в множестве переходит в операцию сложения в множестве D.

Аналогично доказывают и следующие два утверждения.

2. Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя:

                                           (4)

В самом деле, если то и потому  Это и означает, что

3. Логарифм степени положительного основания равен произведению показателя степени на логарифм основания  степени:

.                                                 (5)

В самом деле, пусть  Тогда , и потому

Но это и  означает, что 

Отметим частный  случай формулы (5). Если , то , и потому формула (5) принимает вид:

                                                           (6)

Таким образом, имеем:

   ) Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня. 
 
 
 
 
 
 

§5.Логарифмическая функция в комплексной области. 

В области комплексных  чисел логарифмическую функцию  можно определить тем же способом, что и в области вещественных чисел, а именно как функцию, обратную показательной функции.

Пусть имеем  показательную функцию комплексной  переменной:                               

                                                                              (7)

Будем считать  переменную независимой переменной, то есть будем сами произвольно придавать комплексные значения (отличные от нуля; см. третье свойство показательной функции ) переменной  и по формуле (1) будем определять, какие значения им соответствуют. Эти значения , соответствующие взятым значениям , будем называть логарифмами взятых комплексных чисел . Таким образом, будет функцией от , обратной функции (1). Сформулируем следующее определение.

Определение. Логарифмом комплексного числа называется каждое комплексное число , удовлетворяющее условию .

Ниже мы увидим, что это равенство имеет смысл для всех . Для обозначения логарифма комплексного числа часто используется следующая запись: .

Переходя  к  обычным обозначениям независимой  переменной и функции, запишем логарифмическую функцию в виде

                                                                                               (8)

Как уже было указано, функция (2) определена для  всех .

Выведем формулу, по которой можно было бы вычислить логарифм комплексного числа  , зная модуль и аргумент числа . Для этого положим ,                                                                                                           (9)          

,                                                                              (10)

где и . Равенство (8) по определению логарифма равносильно равенству . Подставляя сюда выражения (9) и (10) для и , получаем: . Переписывая левую часть по формуле (8) из первой главы §5, находим: .

Из равенства  двух комплексных выражений следует, что модули этих комплексных выражений  равны, а аргументы могут отличаться разве лишь на слагаемое вида , где . Следовательно, получаем: , откуда (здесь мы пришли к обычному натуральному логарифму положительного числа) и . Подставляя найденные выражения для и в (9), получаем формулу для логарифма :

,                                                                                     (11)

где  и . Из этой формулы видно, что логарифмическая функция многозначна. Кроме того, из вывода следует, что любое комплексное число является одним из значений показательной функции и потому определен для всех . Логарифм числа 0 не имеет смысла, что согласуется с формулой (11).

Итак, в области  комплексных чисел действие нахождения логарифма числа неоднозначно: каждое отличное от нуля комплексное число имеет бесконечное множество логарифмов, отличающихся друг от друга мнимым слагаемым вида , где .

Если в формуле (11) положить , то получим однозначную функцию, которая называется главным значением логарифмической функции (8) или ее нулевой ветвью. Она обозначается обычно знаком , написанным с маленькой буквы (однако не следует путать этот логарифм с обычным натуральным логарифмом вещественного положительного числа), или же с символом . Итак, формула для главного значения логарифма имеет вид:

.                                                                                             (12)

Эта функция  определена и однозначна на всей комплексной  плоскости. Исследуя ее на непрерывность, убеждаемся в том, что она имеет  разрывы во всех точках вещественной оси  при .

Если  отлично от нуля и от вещественных отрицательных чисел, то функция (12) имеет производную, которая находится по правилу дифференцирования вещественной логарифмической функции:

.                                                                                                    (13)

Действительно, так как логарифмическая функция  в комплексной области определяется как функция, обратная показательной  функции ( так же как и для вещественной переменной), и так как в комплексной области справедливо правило дифференцирования обратной функции, то, используя его и правило дифференцирования , получаем: .

Таким образом, функция  регулярна в области, которая получится, если из комплексной плоскости удалить все точки, лежащие на отрицательной части вещественной оси, включая начало координат. Такая область часто называется плоскостью с разрезом вдоль отрицательной части вещественной оси.

Если в формуле (11) положить , то опять получим однозначную непрерывную всюду, за исключением отрицательной части вещественной оси, функцию, которая называется первой ветвью многозначной функции (11): .

Аналогично получаем определение ветви с любым натуральным индексом . Если полагать в формуле (11) , то будем получать однозначные функции, которые также называются ветвями многозначной функции (11), но имеют целые отрицательные индексы: , и т.д. Все ветви имеют разрывы в каждой точке отрицательной части вещественной оси и непрерывны, если их рассматривать на плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси. Для каждой ветви имеем формулу, аналогичную формуле (13): , так как любая ветвь логарифма отличается от нулевой ветви только постоянным слагаемым. Таким образом, каждая ветвь регулярна на плоскости с разрезом.

Для нахождения логарифма комплексного числа по формуле (11) надо знать его модуль и аргумент . Так , например,

, так как  и ;

; , . В последнем случае все значения логарифма чисто мнимые.

Если  - вещественное положительное, то главное значение логарифма совпадает с известным вещественным натуральным логарифмом. Действительно, если , то и .

Если  - вещественное отрицательное число: , то и . Например, , . , .

Таким образом, вещественные отрицательные числа  имеют комплексные  логарифмы. Оставаясь в области вещественных чисел, логарифм вещественного отрицательного числа определить нельзя.

Для многозначного  логарифма комплексного числа сохраняются  известные для вещественных логарифмов правила логарифмирования произведения  и частного. Действительно, положим  ; тогда многозначная функция (11) запишется в виде . Пользуясь известными для вещественных чисел правилами логарифмирования и свойствами аргумента произведения и частного, получаем для любых и , отличных от нуля:

            (14)

и .                        (15)

Формулы (14) и (15) содержат многозначные функции и  в левых, и в правых частях. Поэтому  равенства (14) и (15) следует понимать не в обычном смысле, а лишь в том смысле, что множество комплексных чисел, являющихся значениями многозначной функции, стоящей в левой части равенства, при  заданных и совпадает с множеством комплексных чисел, являющихся значениями многозначной функции, стоящей в правой части равенства, при тех же и . 
 
 
 
 
 

 

  

Список  использованной литературы: 
 

1. Н.Я.Виленкин, С.И.Шварцбурд. Математический анализ (второе издание). Учебное пособие для 9-10 классов средних школ с математической специализацией. М.: Просвещение, 1973г.
2. К.А.Бохан, И.А.Егорова, К.В.Лащенов. Курс математического анализа (том второй). Под редакцией Б.З.Вулиха. М.: Просвещение, 1972г.