Различные способы построения теории показательной и логарифмической функции

     Содержание: 
 

     Глава 1. Показательная функция…………………………………………2

              §1. Показательная функция на множестве рациональных

                  чисел и её свойства…………………………………........................2

         §2. Степень с иррациональным показателем....................................4

         §3. Показательная функция на множестве действительных чисел …6

         §4. Свойства степеней с действительными показателями…………...7

         §5. Показательная функция в комплексной области…………………9 
 
 

     Глава2.  Логарифмическая функция…………………………………….13 

         §1. Логарифмы и логарифмическая функция ……………………….13

         §2. Логарифмическая функция ………………………………………14

         §3. Свойства логарифмической функции …………………………...14

         §4. Логарифмы и  алгебраические операции…………………………15

         §5. Логарифмическая  функция в комплексной области……………17 
 
 

     Список  использованной литературы…………………………………….22

 

     Глава1.

     Показательная функция

§1.Показательная функция на множестве рациональных чисел и её свойства.

Зафиксируем в выражении основание степени a и будем менять показатель степени r так, чтобы он пробегал множество всех рациональных чисел. Мы получим функцию , заданную на множестве . Так как переменная r стоит в показателе, то эту функцию называют показательной. Рассмотри свойства показательной функции, заданной на множестве рациональных чисел:

1. Все значения функции   , r ϵ , положительны. В самом деле, при любом a > 0 мы имеем . С другой стороны, если b > 0, то . Поэтому > 0. При a = 1 все значения функции равны 1.
2. Имеют место равенства:

а)         в)            д)  

б)            г)

Свойства  а)- д) доказаны в книге «Алгебра» ( гл.3, § 2, п.3 ). 

     

3. Если a > 1,  то функция возрастает, а если 0 < a < 1, то она убывает. При a=1 функция  постоянна.

В самом  деле, мы знаем, что если a > b > 0, то при r > 0 имеем . В частности, если  r > 0, то при a > 1  выполняется неравенство  .

Чтобы доказать возрастные функции  при a > 1, возьмём два рациональных числа и такие, что < . Тогда имеем

Но  - > 0 и a > 1, а потому    > 0. Тогда и > 0.Это и означает, что функция возрастает при a > 1.

Пусть теперь 0 < a < 1. Тогда , а значит, функция у = возрастает. Но тогда функция у =   убывает. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§2.Степень с иррациональным показателем. 

Мы определили показательную функцию пока что  лишь на множестве  рациональных чисел. Теперь определим эту функцию на множестве ᴰ всех действительных чисел. Для этого надо определить понятие степени с иррациональным показателем.

Разберем  сначала случай, когда основание  степени a больше, чем 1. В этом случае функция  на множестве рациональных чисел возрастает. Естественно поэтому определить для иррационального числа x степень так, чтобы было больше всех чисел , где r  < x, и меньше всех чисел , где r > x. Иными словами, должно лежать между числами , r < x, и числами , r > x. Выясним, можно ли так определить и однозначно ли это определение.

Обозначим множество чисел вида , r < x, через A, а множество чисел вида  , r > x, через B. Если ϵ A, ϵ B, то , а потому < . Таким образом, множество чисел B расположено правее множества чисел A. Но тогда, как мы знаем, существует по крайней мере одно число, разделяющее множества A и B.

Мы доказали существование числа, удовлетворяющего поставленному выше условию: быть больше всех чисел , r < x, и меньше всех чисел , r > x. Можно также доказать, что это число однозначно определено.

Для однозначной  определённости  достаточно выполнения следующего условия:

Для любого Ɛ > 0 найдутся такие рациональные числа  и  , что < x < и < Ɛ.

Числа и строятся так. Для любого натурального n найдутся такие дроби и , что < x < . Ясно, что . Но , так как по неравенству Бернулли . Множитель же  ограничен, так как < x  и поэтому < , где r – любое рациональное число, большее, чем x.

Таким образом, является произведением двух множителей, один из которых ограничен, а второй стремится к нулю при n → ∞. Но тогда и стремится к нулю, когда n → ∞. Значит, при достаточно большом n имеем: < Ɛ. Отсюда следует, что однозначно определено.

Мы определили понятие степени с иррациональным показателем при a > 1. Для случая 0 < a < 1 оно определяется точно так же, но множества A и B меняются местами: A состоит из чисел , r > x; B состоит из чисел , r < x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§3.Показательная функция на множестве действительных чисел. 

Для любого положительного числа a и любого действительного числа x мы определили значение . Если считать a фиксированным и x переменным, то получим функцию у = , определённую для всех действительных значений. Её называют показательной функцией на множестве действительных чисел.

Мы будем  в дальнейшем говорить просто «показательная функция».

Установим свойства показательной функции:

1. Показательная функция определена на множестве всех действительных чисел.
2. Все значения показательной функции положительны.

В самом  деле, пусть a > 1 и x – действительное число. Возьмём рациональное число r, меньшее x, r < x. Тогда 0 < < . Аналогично разбирается случай 0 < a < 1.

3. При a > 1 показательная функция возрастает, при a < 1 она убывает, а при a=1 постоянна.

В самом  деле, пусть a > 1 и . Если и - рациональные числа, то неравенство вытекает из свойства 3) показательной функции на множестве рациональных чисел. Если - рациональное число, а - иррациональное число, то по определению . Точно также доказывается неравенство для случая, когда иррационально, а рационально. Наконец, если оба числа и иррациональны, то выберем рациональное число , лежащее между и . Мы получим, что .

Случай  0 < a <1 разбирается точно так же. При a=1 имеем .

4. При a > 1 имеем , а при 0 < a <1 имеем .

В самом  деле, пусть M > 0 – любое число. Так как при a > 1 имеем , то найдётся число N такое, что . Тогда при x > N имеем . Это и значит, что . Случай 0 < a <1 разбирается аналогично.

5. При a > 1 имеем , а при 0 < a <1 имеем .

Доказывается  точно так же, как свойство 4).

6. Функция у = непрерывна при всех значениях x.

Нам надо доказать, что для любого  и для любого Ɛ > 0 найдётся такое , что из неравенства вытекает Ɛ. Мы уже знаем, что существуют такие числа и , что < < и Ɛ (это доказано лишь для иррациональных значений , но доказательство без изменений переносится на случай, когда - рационально число).

Так как функция у = возрастает при a > 1, то для любых чисел     и , лежащих на отрезке , тем более выполняется неравенство Ɛ. Возьмем настолько малую окрестность точки , чтобы она целиком лежала на отрезке (рис.2). Тогда для любой точки x этой окрестности имеем: Ɛ. Это значит, что функция  у = непрерывна в точке . Так как - любая точка, то у = непрерывна при всех значениях x.

Случай 0 < a <1 разбирается точно так же. 
 
 
 

         Рис.2

8. При   функция у = принимает любое положительное значение.

В самом  деле, пусть s- положительное число и пусть a > 1. Так как и , то найдутся такие числа и , что и .

Так как функция у = непрерывна на отрезке , то по теореме о промежуточном значении найдется такое число x, что .

Случай  0 < a <1 разбирается аналогично.

Доказанных выше свойств функции у = достаточно, чтобы построить её график. При a > 1 он имеет вид, изображенный на рис.1б, а при 0 < a <1 – вид изображенный на рис.1а. Так как при любом имеем , то графики всех функций у = пересекают ось ординат в одной и той же точке M(0,1). 
 

рис1a. 
 
 
 
 
 
 

рис1б. 
 
 
 
 

§4.Свойства степеней с действительными показателями. 

Для степеней с  любыми действительными показателями остаются верными основные свойства степеней, выражаемые равенствами:

А)           в)                    д)

Б)                  г)  

Справедливость  этих свойств для любых действительных показателей легко получается из того, что они справедливы для рациональных показателей, и из непрерывности показательной функции.

Сначала докажем  следующую лемму:

Лемма. Если функция f(x) непрерывна в точке a и - последовательность, сходящаяся к a, то .

Доказательство. Зададим любое  Ɛ > 0. Так как  функция f(x) непрерывна в точке a, то найдется такое > 0, что из неравенства вытекает неравенство Ɛ. Так как , то найдется такое N, что при   . Но тогда при и Ɛ. Итак, для любого Ɛ > 0 нашлось такое N, что при выполняется неравенство Ɛ. Это и означает, что . Лемма доказана.

Докажем теперь, что  Для этого выберем последовательность рациональных чисел , сходящуюся к числу : . Для любого n имеет место равенство . Кроме того, в силу непрерывности показательной функции и доказанной выше леммы  .

Поэтому .

Докажем ещё  свойство в), называемое теоремой сложения для показательной функции (оно  выражает  значение показательной  функции для суммы двух аргументов через её значения для самих аргументов). Выберем две последовательности рациональных чисел и , такие что и . Так как , то мы имеем .

Точно так же доказываются остальные соотношения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§5.Показательная функция в комплексной области.