Расширение понятия числа в школьном курсе математике

  МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

  ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

  НАБЕРЕЖНОЧЕЛНИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСЕИЙ ИНСТИТУТ 
 
 
 
 

  Расширение  понятия числа в школьном курсе математике 
 
 

                                      Выполнили: студентки

                             IV курса 721 группы

                             факультета математики

                             и информатики

                                      Сахипярова Регина        Мирзагитовна,

                                      Слепцова Юлия         Михайловна 

                                      Научный руководитель:          Галлямова Э.Х 
 

  Набережные  Челны,2011 

     История развития понятия  числа. Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами.            

 Существует  большое количество определений понятия числа.           

 Первое  научное определение числа дал  Эвклид в своих «Началах», которое  он, очевидно, унаследовал от своего  соотечественника Эвдокса Книдского  (около 408 – около 355 гг. до н.  э.): «Единица есть то, в соответствий, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).           

 Еще  раньше Эвклида Аристотель дал  такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору.           

 В  своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик,  механик, астроном и математик  Исаак Ньютон пишет: «Под числом  мы подразумеваем не столько  множество единиц, сколько абстрактное  отношение какой-нибудь величины  к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое  число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».           

Мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в определение понятия числа: «Числа – это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания».

      Число - важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие числа изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количественного описания и исследования. На первых ступенях развития понятие числа определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем числа становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия числа определяется потребностями этой науки, что доказывает актуальность данной работы.

      Целью работы является изучение развития понятия числа и исследование соответствующий историко-генетический подход в общеобразовательной школе.

      Задачи:

1. Провести исторический анализ развития понятия числа;
2. Выполнить анализ учебников и учебных пособии по математике по теме исследования;
3. Рассмотреть сущность историко-гененического подхода;
4. Сделать вывод о соответствие последовательности изучения чисел в общеобразовательных школах историко-генетического подхода.

     Зарождение  и развитие понятия  числа.

     В основе математики лежит понятие  числа, одно из самых ранних и самых  абстрактных. Оно возникло как обобщение  счета отдельных предметов. Счет присущ не только человеку, но и, в некоторой  форме, и животным, например кошке, которая чувствует наличие при себе всех своих котят.

     Наиболее  ранняя форма счета носит конкретно-чувственный  характер. Такой счет можно обнаружить у первобытных людей и у  животных. Однако нельзя с уверенностью сказать, что только человек способен к абстрактному счету. Есть данные о способности приматов к символизации счета «Приматы способны распознавать и обобщать признак «число элементов», устанавливать соответствие между этим отвлеченным признаком и ранее нейтральными для них стимулами — арабскими цифрами. Оперируя цифрами как символами, они способны ранжировать множества и упорядочивать их по признаку «число», а также совершать число действий, соответствующее цифре. Наконец, они способны к выполнению операций, изоморфных сложению, но этот вопрос требует более точных исследований.» [4]. Переход от «чувственного счета» к абстрактному осуществляется при помощи взаимооднозначного соответствия между двумя множествами, одно из которых позже принимается как бы за эталон. Взаимооднозначное соответствие по началу носит также конкретно-чувственный характер (например, расположение элементов друг напротив друга). Таким способом пользуются даже современные люди, когда считают что-либо загибая пальцы. Считается, что именно счет на пальцах лежит в основе десятичной системы исчисления, принятой у европейских народов [8, стр. 11]. На этом этапе обобщения появляется знаковое обозначение числа. Первоначально это были зарубки на дереве, костях, узелки на веревках, количество которых совпадало со значением числа. Конкретно-чувственное происхождение чисел находит свое отражение в языке. «Вначале счет производился с помощью подручных средств:пальцев камней, еловых шишек и т.д. Следы этого сохранились в названии математических счислений: calculus, которое имеет латинское происхождение и означает: счет камешками» [9, стр. 17]. С развитием культуры и общества появляется потребность в использовании более больших чисел, так появляются разнообразные числовые системы. Современная десятичная система появилась в результате развития древних систем счисления. К системам счисления предшествующим десятичной относятся:

     • Иероглифические непозиционные  системы. К ней относится Римская  система. В ней числа формируется  из набора узловых чисел обозначенных иероглифами. Число образуется из этого набора путем дописывания справа или слева узлового числа других узловых чисел. Значения числа вычисляется по аддитивному или субстрактивному принципу.

     • Алфавитные системы счисления. Здесь  числа записываются при помощи букв. Чтобы отличить буквы от чисел, каждой букве приписывается отличительный признак. Буквы используемые для записи чисел берутся в группы по 9 штук. Для записи единиц десятков и сотен используются разные группы букв, что существенно осложняет ее использование.

     • Позиционные недесятичные системы счисления.

     Почти одновременно со счетом зарождаются  математические операции сложения и  вычитания (когда уменьшаемое больше вычитаемого). Позже появляется умножение, как повторное сложение. Деление  появляется значительно позже, чем  умножение, хотя представления о простых дробях  ( ) появляется сравнительно рано. Понятие о натуральных числах, как о бесконечном наборе чисел, возникло не сразу. Представления о неисчислимо больших числах сохранились в языке, например в русском словами «тьма», «много».

       Наиболее отчетливое представление о безграничном продолжении ряда натуральных чисел обнаружено у греческих математиков. В XII-VII веках до н.э. (времена Гомера) самым большим числом было мириада (1000), которое позже стала обозначать 10000. В III в до н.э. Архимед в своем труде «Исчиление песчинок» опроверг возможность построить сколь угодно большое число.

     Однако  даже в математике Древней Греции не было единого представления о  том, что такое число. Так в  школе Пифагора и Платона считали единицу не числом, а «эмбрионом числа». Стоит отметить, что мифологическое сознание древнегреческого общества еще не до конца воспринимало математические и философские абстракции. «Наименее доступны пониманию широких кругов были именно числа, эти наиболее абстрактные элементы науки того времени» [10, стр. 83]. По этим и другим причинам математика, ее методы и результаты выглядели мистически. Наиболее развитым и философски обоснованным мистическим взглядом на числа были пифагорейство и неопифагорейство. Упрощая, можно сказать, что пифагореизм в основе гармонии мира видел число, для пифагореизма все числа имели мистический смысл. Подобные взгляды можно встретить и сегодня. Однако следует признать, что проникновение в философию понятий математики чаще всего было плодотворным. В качестве примера можно привести категорию «Количество» в философии Канта и в диалектической логике, а также парадоксы теории множеств.

     Хотя  аксиоматически сначала строится множество  натуральных чисел, потом целые  числа, а потом уже рациональные, исторически рациональные числа появились раньше отрицательных чисел и нуля.

     Первоначально понятие нуля возникло в качестве обозначения нулевого разряда в  записи чисел. Первое достоверное использование  нуля обнаружено в Индии и относится  к IX веку. Однако точное происхождение цифры ноль в позиционных системах не известно. «Одни исследователи (Г. Фреуденталь) предполагают, что нуль был заимствован у греков...Другие (Дж. Нидэм), наоборот, считают, что нуль пришел в Индию с востока» [8, стр. 183]. В Индии наиболее ясно и полно исследовали вопрос о применимости к 0 арифметических операций, математиком Бхаскара даже исследовался вопрос о делении на на 0.

     Также в индийской математике было наиболее отчетливое представление об отрицательных  числах. «Индийские математики, начиная с Брахмагунты (VII в.н.э.), систематически пользовались отрицательными числами и трактовали положительное число как имущество, а отрицательное как долг» [8, стр. 190], хотя мы не можем утверждать, что отрицательные числа впервые появились в Индии. Было установлено, что квадрат отрицательного числа — число положительное, также ставились вопросы о наличии квадратного корня из отрицательного числа. Действиям с отрицательными числами посвящена целая глава в произведении Бхаскары «Виджаганита».

     Менее ясные представления об отрицательных  числах были и у китайцев. Их появление  было связано с задачами, которые  сегодня называются системы линейных уравнений. «Так как все вычисления, в том числе и преобразования матрицы, производились на счетной доске, то для обозначения отрицательных чисел применялись счетные палочки другого цвета или формы, а в случае записи применялись иероглифы разных цветов» [11, стр.84]. Юшкевич высказывает предположение о том, что представление об отрицательных числах имел Диофант [8, стр. 145].

     Хотя  идея ввести обозначение для «ничего» возникла в математике достаточно давно, но как число нуль долгое время  не воспринимался. Тем более полноправными  числами не воспринимались отрицательные  числа, мысль о том, что есть что-то меньше чем «ничто» многим казалась абсурдной. «...еще Кардано называет отрицательные числа «фиктивными» [8, стр. 315].

     Интерпретация отрицательного числа как «долга»  у индусов переняли арабы, использование  отрицательных чисел встречается  в работах арабского математика Абу-л-Вафы. Считается, что термин долг был заимствован математиком Средневековья Леонардо Пизанским (ок. 1170-после 1250, известен как Фибоначчи) у арабов. Кроме «долга» существовал термин «меньше, чем ничто». Зачатки геометрической интерпретации отрицательных чисел появляется в работе М. Штифеля «Полная арифметика», но только после работ Ферма и Декарта отношение к отрицательным числам кардинально изменилось. Применение отрицательных чисел и нуля сыграло важную роль в математике, позволило обобщить многие задачи, упростить некоторые вычисления и формализовать многие алгоритмы.

     Как было отмечено ранее, дроби появились  намного раньше чем целые числа ( ) и даже раньше чем операция деления. Они возникли из потребности делить целое на части, а также выражать величину через ее части. Дроби вида называемые долями известны человечеству со времен зарождения математического знания. Так египтяне имели обозначения для дробей вида (единичные), а также для , однако если им встречались дроби другого вида, они раскладывали их на сумму единичных дробей. Единичные дроби использовались на ранних этапах греками и шумерами. Дроби общего вида появляются в Греции, хотя изначально не принимаются как числа. Греки впервые построили, по нашим понятиям группу положительных рациональных чисел. «Только в Греции начали оперировать с дробями вида , причем умели производить с ними все действия арифметики с тем ограничением, что вычитать можно было из большего меньшее» [8, стр. 71].

     Дроби также были издавна известны в  Индии, упоминания о таких дробях как  относятся к середине II тысячелетия до н.э. Причем индийцы записывали их способом, напоминающий современный: числитель над знаменателем, но без разделительной черты. Также указывались правила обращения с такими объектами, аналогичные современным правилам обращения с дробями.

     Несколько слов стоит сказать о происхождении  десятичных дробей. Прообразом для десятичных дробей послужили шестидесятиричные дроби, используемые вавилонянами. Она напоминала современный способ записи дробей тем, что позволяла записывать целю и дробную часть однотипно, что значительно упрощало вычисления. Постепенно, возникают догадки,что это удобство не связано с какими-то особенными свойствами число 60. «Зреет мысль о том, что в основу системы таких дробей может быть положено и другое число...Понимание этой мысли можно видеть уже в учебнике арифметики середины XII в., приписываемом Иоанну Севильскому. Иордан Немораррий (XIII в.) дает даже специальное название таким систематическим дробям, аналогичным шестидесятеричным» [7, стр. 240]. Идея десятичных дробей использовалась некоторыми математиками, но до XIV века строгого их построения не было. В середине XIV в. французский математик Бонфис сделал попытку развить идею десятичного числа. Однако его работа носила эскизный характер и не была опубликована.

     В первой половине XV теорию десятичного  числа построил самаркандский математик Джемшид Гиясэддином ал-Каши. Он описал десятичную записи числа и описал правила обращения с десятичными дробями. Однако работы ал-Каши оставались неизвестными вплоть до середины XX века.