Основные понятия математики

Определение производной 

     Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х_o называется предел

= .

     Если  этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x_o; при этом она оказывается обязательно и

непрерывной в этой точке.

     Если  же рассматриваемый предел равен  ∞ (или -∞ ), то при условии, что функция  в точке х_o непрерывна, будем говорить, что функция f(x)

имеет в точке х_o бесконечную производную.

Производная обозначается символами

y ^' ,   f ^' (x_o),   ,   .

     Нахождение  производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том, что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х_o; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t₀.

Правила дифференцирования

Если  с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

5) если y = f(u), u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций j и f, то , или

;

6) если  для функции y = f(x) существует обратная  дифференцируемая функция x = g(y), причем    ≠ 0, то .

Таблица производных

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить  список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u^m)' = m u^m-1 u' (m принадлежит R¹ )

2. (a^u)' = a^u lna× u'.

3. (e^u)' = e^u u'.

4. (log_a u)' = u'/(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u× u'.

7. (cos u)' = - sin u× u'.

8. (tg u)' = 1/ cos²u× u'.

9. (ctg u)' = - u' / sin²u.

10. (arcsin u)' = u' / .

11. (arccos u)' = - u' / .

12. (arctg u)' = u'/(1 + u²).

13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u²).

Вычислим  производную степенно-показательного выражения

y=u^v, (u>0), где u и v суть функции от х, имеющие в данной точке производные u', v'.

Прологарифмировав равенство y=u ^v, получим ln y = v ln u.

Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:

y'/y = vu'/u +v' ln u, откуда y' = y (vu'/u +v' ln u).

Итак,

(u ^v)'=u ^v (vu'/u+v' ln u), u > 0.

Например, если y = x ^{sin x}, то y' = x ^{sin x} (sin x/x + cos x× ln x).

Если  функция y = f(x) дифференцируема в  точке x, т.е. имеет в этой точке конечную производную y', то  = y'+ α, где α→0 при Δх →0; отсюда Δy = y' Δх + αx.

Главная часть приращения функции, линейная относительно Δх, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y' Δх. Если положить в этой формуле y=x, то

получим dx = x'Δх = 1×Δх =Δх, поэтому dy=y'dx, т. е. символ для обозначения производной   можно рассматривать как дробь.

Приращение  функции Δy есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной. 
 
 
 

то в  этой точке существуют также производные  суммы, разности, произведения и частного этих функций, причем:

 

 1. Производная сложной функции

также имеет  производную в точке x₀, причем

2. Достаточное условие монотонности функции

 

 

3. Необходимое условие экстремума функции

.

4. Признак максимума функции

 

 

5. Признак минимума функции

 

 

Правило отыскания наибольшего  и наименьшего  значений функции.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек (точек  из области определения, в которых  производная функции обращается в ноль или не существует), нужно  вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка  и выбрать наибольшее и наименьшее из полученных чисел.