Производная сложной функции

ВАРИАНТ №25 ВОПРОСЫ (№11,27,36)

Вопрос  №11

Производная сложной функции.

Функции сложного вида не совсем корректно называть термином «сложная функция». К примеру,   смотрится очень внушительно, но сложной эта функция не является, в отличие от  .

В этой статье мы разберемся с понятием сложной функции, научимся выявлять ее в составе элементарных функций, дадим формулу нахождения ее производной и подробно рассмотрим решение характерных примеров.

При решении примеров будем постоянно использовать таблицу производных и правила дифференцирования, так что держите их перед глазами.

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

С нашей точки  зрения, это определение наиболее понятно. Условно можно обозначать какf(g(x)). То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)).

К примеру, пусть f – функция арктангенса, а g(x) = lnx есть функция натурального логарифма, тогда сложная функция f(g(x)) представляет собой arctg(lnx). Еще пример: f – функция возведения в четвертую степень, а   - целая рациональная функция (смотритеклассификацию элементарных функций), тогда  .

В свою очередь, g(x) также может быть сложной функцией. Например,  . Условно такое выражение можно обозначить как  . Здесь f – функция синуса,   - функция извлечения квадратного корня,   - дробная рациональная функция. Логично предположить, что степень вложенности функций может быть любым конечным натуральным числом  .

Часто можно слышать, что сложную функцию называют композицией функций.

Формула нахождения производной сложной  функции. 

Пример.

Найти производную  сложной функции  .

Решение.

В данном примере f – функция возведения в квадрат, а g(x) = 2x+1 – линейная функция.

Вот подробное решение  с использованием формулы производной  сложной функции: 

Давайте найдем эту  производную, предварительно упростив вид исходной функции. 

Следовательно, 

Как видите, результаты совпадают.

Постарайтесь не путать, какая функция есть f, а какая g(x).

Поясним это примером на внимательность.

Пример.

Найти производные  сложных функций   и  .

Решение.

В первом случае f – это функция возведения в квадрат, а g(x) – функция синуса, поэтому 
.

Во втором случае f – это функция синуса, а   - степенная функция. Следовательно, по формуле произведения сложной функции имеем 

Формула производной  для функции   имеет вид 

Пример.

Продифференцировать функцию  .

Решение.

В этом примере сложную  функцию можно условно записать как  , где   - функция синуса, функция возведения в третью степень, функция логарифмирования по основанию e, функция взятия арктангенса и линейная функция соответственно.

По формуле производной  сложной функции 

Теперь находим

1.  как производную синуса из таблицы производных: 
   
2.  - как производную степенной функции: 
   
3.  - как производную логарифмической функции: 
   
4.  - как производную арктангенса: 
   
5. При дифференцировании   выносим двойку за знак производной и применяем формулу производной степенной функции с показателем равным единице: 
   

Собираем воедино  полученные промежуточные результаты: 

Страшного ничего нет, разбирайте сложные функции как  матрешки.

На этом можно  было бы и закончить статью, если бы ни одно но…

Желательно  отчетливо понимать, когда применять  правила дифференцирования и  таблицу производных, а когда  формулу производной сложной  функции.

СЕЙЧАС БУДЬТЕ ОСОБЕННО ВНИМАТЕЛЬНЫ. Мы поговорим об отличии  функций сложного вида от сложных  функций. От того, насколько Вы видите это различие, и будет зависеть успех при нахождении производных.

Начнем с простых  примеров. Функцию   можно рассматривать как сложную:g(x) = tgx,  . Следовательно, можно сразу применять формулу производной сложной функции 

А вот функцию   сложной уже назвать нельзя.

Эта функция представляет собой сумму трех функций  , 3tgx и 1. Хотя   - представляет собой сложную функцию:   - степенная функция (квадратичная парабола), а f – функция тангенса. Поэтому, сначала применяем формулу дифференцирования суммы: 

Осталось найти  производную сложной функции  : 

Поэтому  .

Надеемся, что суть Вы уловили.

Если смотреть более  широко, то можно утверждать, что  функции сложного вида могут входить  в состав сложных функций и  сложные функции могут быть составными частями функций сложного вида.

В качестве примера  разберем по составным частям функцию  .

Во-первых, это сложная функция, которую можно представить в виде  , где f – функция логарифмирования по основанию 3, а g(x) есть сумма двух функций   и  . То есть,  .

Во-вторых, займемся функцией h(x). Она представляет собой отношение   к  .

 - это сумма двух функций   и  , где   - сложная функция с числовым коэффициентом 3.   - функция возведения в куб,   - функция косинуса,   - линейная функция.

 - это сумма двух функций   и  , где   - сложная функция,   - функция экспоненцирования,   - степенная функция.

Таким образом,  .

В-третьих, переходим к  , которая представляет собой произведение сложной функции   и целой рациональной функции 

 - функция возведения в квадрат,   - функция логарифмирования по основанию e.

Следовательно,  .

Подытожим: 

Теперь структура  функции понятна и стало видно, какие формулы и в какой  последовательности применять при  ее дифференцировании.