Интерполяция функции с разрывом производной

Курсовая работа

Интерполяция функции с разрывом производной

1)      Вступительная часть

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией.

Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через все имеющиеся точки данных. Основной недостаток интерполяционных алгоритмов в том, что при изменении значения функции в одной точке необходимо полностью пересчитать интерполяционные формулы.

Аппроксимация - приближение кривой, не обязательно проходящей через все точки. Основные методы аппроксимации обладают (и это очень ценно) свойством 'local control': изменение значения функции в одной точке влечет за собой перевычисление лишь 1-3 формул (это гораздо лучше, чем всех формул, особенно в реальных приложениях компьютерной графики).

При использовании интерполяции истинная функция заменяется аппроксимирующей функцией, которая в узловых точках дает точные значения ординат и позволяет вычислить значения интерполируемой функции в промежуточных точках.

Существуют различные способы интерполяции:

      Интерполяция методом ближайшего соседа (простейший способ интерполяции);

      Интерполяция многочленами (наиболее применяема на практике, это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные):

      линейная интерполяция,

      интерполяционная формула Ньютона,

      метод конечных разностей,

      многочлен Лагранжа (интерполяционный многочлен),

      сплайн-функция,

      кубический сплайн;

      Обратное интерполирование (вычисление x при заданном y):

      полином Лагранжа,

      обратное интерполирование по формуле Ньютона,

      обратное интерполирование по формуле Гаусса;

      Интерполяция функции нескольких переменных:

      билинейная интерполяция

      бикубическая интерполяция

      Другие способы интерполяции

      рациональная интерполяция

      тригонометрическая интерполяция

2)      Теоретический расчет

Рассмотрим задачу приближения функций. Зададим аппроксимирующую функцию в виде:

                                                                                    (1)

где - представляет собой набор базисных функций или полиномов. Коэффициенты выбираются из условия минимума ошибки

,

где - весовая функция. Эта функция должна быть неотрицательной интегрируемой на функцией,  и она также не должна обращаться в ноль на любом интервале из отрезка . Условия минимума ошибки записываются в виде

, .

Преобразование этих выражений даёт систему линейных уравнений для коэффициентов :

                                          (2)

Пусть функции удовлетворяют следующему условию:

                                                                      (3)

Тогда, только один интеграл в левой части уравнений (2) будет отличен от нуля и решение этой системы имеет простой вид:

.

Функции, удовлетворяющие условию (3) называются ортогональными на отрезке с весом функциями. Они имеют очень полезное свойство: улучшение аппроксимации, посредством включения дополнительного слагаемого , не влияет на уже вычисленные коэффициенты .

Замена переменных

,                                                         (4),

где и , позволяет использовать формулы (1)-(3) для произвольного конечно интервала аппроксимации.

Рассмотрим, например, набор тригонометрических функций и пусть интервал аппроксимации :

,

,

.

Эти функции ортогональны на отрезке с весом , и константа из (3) равна единице. Для непрерывной на отрезке функции , аппроксимирующая функция (1) задаётся в виде:

,

где

,

.

Такая интерполяция называется тригонометрической, или по-другому, интерполяцией полиномом Фурье. Этот вид интерполяции в основном применяется для периодических функций. При тригонометрической интерполяции интерполирующая формула представляет собой сумму конечного числа гармоник ряда Фурье.

Так как амплитуда колебаний функций и не превышает единицу, то максимальную абсолютную ошибку аппроксимации можно оценить величиной

3)      Пример (приближение функции с разрывом производной).

В качестве примера построим приближение следующей функции:

Используя замену переменных, можно легко найти, что

,

.

Так как исходная функция чётная, то

.

Окончательно, аппроксимирующая функция имеет вид

В дополнение,  мы можем оценить число членов ряда ,  необходимое для

получения аппроксимации с заданной точностью . В нашем случае

и, следовательно,

.

4)      Реализация в MatLab

% Параметры функции

f0=input('Введите параметр функции f0  ');

d=input('Введите параметр функции d   ');

na=1;% Значение N

nx=21;% Число точек интерполяции

dx=2.*d/(nx-1);% Шаг интерполяции

xe=zeros(nx,1);

g=zeros(nx,1);

f=zeros(nx,1);

for n=1:nx

     x=-d+(n-1)*dx;

     xe(n)=x;

    sum=0.;

    for k=0:na

        sum=sum+cos(pi*(2*k+1)*x/d)/((2*k+1)^2);

    end

    g(n)=f0*0.5+4.*f0*sum/(pi*pi);

    f(n)=f0*(1.-abs(x/d));

end

% Визуализация

figure;

plot(xe,f,'r-',xe,g,'b--');

grid

xlabel(' x ');

ylabel(' f(x) , g(x) ');

legend('f(x)','g(x)')

title ('Тригонометрическая аппроксимация для функции f(x)=f0*(1-|x/d|)');

5)      Применимость

Интерполяция функций широко применяется при цифровой обработке сигналов, изображений (увеличение четкости изображений), при моделировании нелинейных электрических и электронных цепей и т.д.

5